Celé a racionálne čísla Nezačaté

0. Kľúčové fakty

1. Celé čísla (ℤ) — sú to všetky kladné čísla, záporné čísla a nula: ..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ... Tvoria ich prirodzené čísla, čísla k nim opačné a nula, no nepatria sem zlomky ani desatinné čísla. Záporné čísla vznikli z praktickej potreby vyjadriť hodnoty „pod nulou" alebo „dlh", napríklad teplotu −5 °C alebo dlh −20 eur.

2. Kladné a záporné čísla z praxe — záporné čísla bežne opisujú skutočnosti pod istou hranicou: teplota pod bodom mrazu (−12 °C), hĺbka pod hladinou mora (−400 m), poschodia pod zemou (−2. poschodie), dlh na účte (−50 €) alebo prehra v hre (−10 bodov). Kladné čísla naopak vyjadrujú zisk, výšku nad hladinou či teplotu nad nulou. Nula je hranica, ktorá tieto dva svety oddeľuje a sama nie je ani kladná, ani záporná.

3. Racionálne čísla (ℚ) — je to každé číslo, ktoré sa dá zapísať ako zlomok a/b, kde a a b sú celé čísla a menovateľ b sa nerovná nule. Patria sem všetky celé čísla (napr. 5 = 5/1), zlomky (3/4) aj desatinné čísla s konečným alebo periodickým rozvojom (0,5; 0,333...). Pojem je dôležitý, lebo rozširuje celé čísla o všetky „časti celku" a umožňuje presne deliť.

4. Číselná os — je priamka, na ktorej každému číslu zodpovedá presne jeden bod. Vpravo od nuly ležia kladné čísla (rastú), vľavo záporné čísla (klesajú), pričom rovnaké vzdialenosti predstavujú rovnaké rozdiely hodnôt. Os je hlavný nástroj na zobrazenie, porovnávanie a usporadúvanie čísel — čím je číslo viac vpravo, tým je väčšie.

5. Opačné číslo — k danému číslu je číslo, ktoré má rovnakú vzdialenosť od nuly, ale leží na opačnej strane číselnej osi. Napríklad opačné číslo k 7 je −7 a opačné k −3 je 3; opačné číslo k nule je nula. Súčet čísla a jeho opačného čísla je vždy 0 (napr. 7 + (−7) = 0), čo sa využíva pri počítaní a riešení rovníc.

6. Absolútna hodnota — značí sa zvislými čiarami |a| a vyjadruje vzdialenosť čísla od nuly na číselnej osi, preto nikdy nie je záporná. Platí |5| = 5 a |−5| = 5, teda číslo aj jeho opačné číslo majú rovnakú absolútnu hodnotu. Tento pojem pomáha porovnávať „veľkosť" čísel bez ohľadu na znamienko a je základom pri počítaní so zápornými číslami.

7. Porovnávanie a usporadúvanie — z dvoch čísel je väčšie to, ktoré na číselnej osi leží viac vpravo. Z toho vyplýva dôležité pravidlo: každé kladné číslo je väčšie ako každé záporné, a pri záporných číslach je väčšie to, ktoré má menšiu absolútnu hodnotu (napr. −2 > −9). Usporiadanie vzostupne znamená zoradiť čísla od najmenšieho po najväčšie, zostupne naopak.

8. Sčítanie a odčítanie celých čísel — pri rovnakých znamienkach absolútne hodnoty sčítame a ponecháme spoločné znamienko ((−4) + (−3) = −7); pri rôznych znamienkach od väčšej absolútnej hodnoty odčítame menšiu a vezmeme znamienko väčšej ((−4) + 6 = 2). Odčítanie nahradíme pripočítaním opačného čísla: 5 − (−3) = 5 + 3 = 8. Toto pravidlo „mínus mínus dáva plus" je častým zdrojom chýb, preto si ho treba dobre osvojiť.

9. Násobenie a delenie so znamienkami — rozhoduje pravidlo znamienok: súčin (aj podiel) dvoch čísel s rovnakými znamienkami je kladný, s rôznymi znamienkami je záporný. Teda (−4) · (−5) = 20, ale (−4) · 5 = −20 a (−20) : 4 = −5. Pri násobení a delení najprv vynásobíme/vydelíme absolútne hodnoty a potom určíme znamienko podľa tohto pravidla.

10. Počítanie s desatinnými číslami — pri sčítaní a odčítaní píšeme čísla pod seba tak, aby desatinné čiarky boli nad sebou; pri násobení vynásobíme čísla bez čiarky a vo výsledku oddelíme toľko desatinných miest, koľko ich mali oba činitele spolu. Pri delení desatinným číslom posunieme čiarku u deliteľa aj delenca o rovnaký počet miest, aby sme delili celým číslom. Znamienka pritom riešime rovnakými pravidlami ako pri celých číslach.

11. Poradie operácií a zátvorky — najprv počítame výrazy v zátvorkách, potom mocniny, ďalej násobenie a delenie (zľava doprava) a nakoniec sčítanie a odčítanie. Napríklad 3 + 4 · (−2) = 3 + (−8) = −5, nie 14. Dodržanie správneho poradia je nevyhnutné, aby zložitejšie výrazy a slovné úlohy vyšli správne.

12. Slovné úlohy so zápornými číslami — v praxi sa celé a racionálne čísla využívajú pri výpočte zmien teploty (rozdiel medzi −8 °C a 5 °C je 13 °C), pri stave účtu (vklad a výber), pri zmene nadmorskej výšky či pri skóre v hrách. Kľúčom je správne priradiť znamienka: prírastok je kladný, úbytok záporný. Tieto úlohy ukazujú, prečo má učivo zmysel a ako sa matematika spája s každodenným životom.

1. Poučka

Celé čísla sú kladné čísla (1, 2, 3, …), záporné čísla (−1, −2, −3, …) a nula. Značíme ich ℤ. Racionálne čísla sú všetky čísla, ktoré vieme zapísať ako zlomok dvoch celých čísel (menovateľ ≠ 0) — patria sem aj desatinné čísla a zlomky. Značíme ich ℚ. Opačné číslo k číslu a je číslo −a (líšia sa len znamienkom: opačné k 5 je −5, opačné k −3 je 3). Absolútna hodnota čísla a, zapísaná |a|, je jeho vzdialenosť od nuly na číselnej osi — vždy je kladná alebo nula (|−4| = 4, |4| = 4).

2. Vysvetlenie

Predstav si číselnú os ako teplomer položený naležato. V strede je 0. Vpravo rastú kladné čísla, vľavo klesajú záporné. - Porovnávanie: číslo je tým väčšie, čím viac vpravo leží. Preto je každé kladné číslo väčšie ako každé záporné a napríklad −2 > −5 (−2 je viac vpravo). - Opačné číslo nájdeš tak, že len zmeníš znamienko. - Absolútna hodnota = „aká je vzdialenosť od nuly", a vzdialenosť nemôže byť záporná, preto zo znamienka mínus „zmizne". - Sčítanie a odčítanie: mínus a mínus pri násobení/delení dávajú plus; pri sčítaní si pomôžeš pohybom po osi (pripočítať kladné = krok vpravo, pripočítať záporné = krok vľavo).

3. Príklady a prečo je to dôležité

Príklad 1 — porovnávanie a zoradenie: Zoraď od najmenšieho po najväčšie: −4; 1; −9; 0; 3.
Na číselnej osi je menšie číslo vždy viac vľavo.
Zo záporných čísel je menšie to, ktoré je ďalej od nuly: −9 je menšie ako −4.
Potom nasleduje 0 a nakoniec kladné čísla 1 a 3.
Poradie → −9; −4; 0; 1; 3

Príklad 2 — sčítanie a odčítanie celých čísel: Vypočítaj −7 + 10 − 8.
Počítame zľava: −7 + 10 = 3 (z −7 sa posunieme o 10 doprava)
3 − 8 = −5 (z 3 sa posunieme o 8 doľava, cez nulu)
Výsledok: −7 + 10 − 8 = −5

Príklad 3 — absolútna hodnota a opačné číslo: Urči absolútnu hodnotu čísla −12 a číslo k nemu opačné.
Absolútna hodnota je vzdialenosť čísla od nuly na osi: |−12| = 12
Opačné číslo leží na druhej strane nuly v rovnakej vzdialenosti → opačné číslo k −12 je 12

Príklad 4 — desatinné (racionálne) čísla: Vypočítaj 1,5 + (−3,25).
Pripočítať záporné číslo je to isté ako odčítať: 1,5 − 3,25
Odčítame väčšie číslo od menšieho, výsledok bude záporný: 3,25 − 1,5 = 1,75
Výsledok: 1,5 + (−3,25) = −1,75

Príklad 5 — teplota (z praxe): Ráno bolo −6 °C, cez deň sa oteplilo o 9 °C a večer ochladilo o 5 °C. Aká bola večer teplota?
Oteplenie pripočítame: −6 + 9 = 3 °C
Ochladenie odčítame: 3 − 5 = −2 °C

Príklad 6 — účet v banke (z praxe): Na účte máš 20 € a zaplatíš kartou 35 €. Aký bude zostatok?
20 − 35: odčítame väčšie číslo, výsledok bude záporný (35 − 20 = 15)
Zostatok: 20 − 35 = −15 € (to je dlh)

Prečo je to dôležité: záporné čísla a desatinné čísla používaš denne — teploty, peniaze a dlhy, nadmorské výšky, časové posuny, merania. Bez nich by sa nedalo zapísať „menej ako nič" ani presné množstvo medzi celými číslami. Je to základ, na ktorom stojí celá ďalšia matematika (rovnice, percentá, fyzika).

Precvič si

1. Zoraď od najmenšieho po najväčšie: 4; −2; −8; 1; −5.
2. Vypočítaj: −9 + 4.
3. Vypočítaj: 6 − 11 − (−3).
4. Vypočítaj |−7| + |−3| a napíš opačné číslo k číslu 2,5.
5. Vypočítaj: −2,4 + 0,9 − 1,25.
6. Ponorka je v hĺbke −120 m. Vystúpi o 45 m vyššie a potom klesne o 30 m. V akej hĺbke je teraz?