Deliteľnosť prirodzených čísel Nezačaté

0. Kľúčové fakty

1. Deliteľnosť (delenie bezo zvyšku) — Hovoríme, že číslo a je deliteľné číslom b, keď po vydelení a : b nezostane žiadny zvyšok (zvyšok je 0). Napríklad 12 je deliteľné 3, lebo 12 : 3 = 4 a nič nezvýši, ale 13 deliteľné 3 nie je, lebo 13 : 3 = 4 a zvyšok 1. Deliteľnosť je základom celej tejto témy a pomáha napríklad pri krátení zlomkov či rozdeľovaní vecí na rovnaké časti.

2. Deliteľ čísla — Deliteľ je číslo, ktorým vieme dané číslo vydeliť bezo zvyšku. Napríklad delitele čísla 12 sú 1, 2, 3, 4, 6 a 12, pretože každým z nich sa 12 delí presne. Každé prirodzené číslo má vždy aspoň dvoch deliteľov — číslo 1 a samo seba — a hľadanie deliteľov ide najrýchlejšie po dvojiciach (1·12, 2·6, 3·4).

3. Násobok čísla — Násobok dostaneme, keď dané číslo vynásobíme prirodzeným číslom (1, 2, 3, …). Násobky čísla 4 sú 4, 8, 12, 16, 20 a tak ďalej donekonečna, takže každé číslo má nekonečne veľa násobkov, ale len konečne veľa deliteľov. Deliteľ a násobok sú opačné pohľady na ten istý vzťah: ak je 3 deliteľom čísla 12, tak 12 je násobkom čísla 3.

4. Znak deliteľnosti 2 — Číslo je deliteľné dvomi práve vtedy, keď sa končí na párnu číslicu, teda na 0, 2, 4, 6 alebo 8. Takéto čísla voláme párne (napr. 130, 248, 1 006), ostatné sú nepárne. Tento znak je najjednoduchší a stačí sa pozrieť len na poslednú číslicu, nemusíme nič počítať.

5. Znak deliteľnosti 5 a 10 — Číslo je deliteľné piatimi, keď sa končí na 0 alebo 5 (napr. 35, 90, 245). Číslo je deliteľné desiatimi, keď sa končí na 0 (napr. 70, 300, 1 250). Vidno, že každé číslo deliteľné 10 je zároveň deliteľné aj 2 aj 5 — pomáha to napríklad pri rýchlom počítaní s okrúhlymi číslami.

6. Znak deliteľnosti 3 — Pri trojke sa nepozeráme na poslednú číslicu, ale sčítame všetky číslice čísla; ak je tento ciferný súčet deliteľný 3, je deliteľné 3 aj celé číslo. Napríklad 372 → 3 + 7 + 2 = 12, a keďže 12 je deliteľné 3, je deliteľné 3 aj 372. Tento „trik" funguje preto, lebo zvyšky mocnín desiatky pri delení tromi sú vždy 1.

7. Znaky deliteľnosti 9, 6 a 4 — Podobne ako pri trojke, číslo je deliteľné 9, keď je jeho ciferný súčet deliteľný 9 (napr. 153 → 1 + 5 + 3 = 9). Číslo je deliteľné 6, keď je deliteľné súčasne 2 aj 3 (musí byť párne a zároveň mať ciferný súčet deliteľný 3). Číslo je deliteľné 4, keď je jeho posledné dvojčíslie deliteľné 4 (napr. 1 316, lebo 16 : 4 = 4).

8. Prvočíslo — Prvočíslo je prirodzené číslo väčšie ako 1, ktoré má presne dvoch deliteľov — jednotku a samo seba. Prvé prvočísla sú 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … a číslo 2 je jediné párne prvočíslo. Prvočísla sú akési „stavebné kamene" všetkých čísel, lebo z nich vieme násobením poskladať každé iné číslo.

9. Zložené číslo — Zložené číslo je prirodzené číslo väčšie ako 1, ktoré má viac ako dvoch deliteľov, teda sa dá rozložiť aj inak než len 1 · samo seba. Napríklad 12 = 2 · 2 · 3 alebo 15 = 3 · 5 sú zložené čísla. Každé zložené číslo sa dá zapísať ako súčin prvočísel (tzv. rozklad na prvočinitele), čo je dôležité pri hľadaní spoločných deliteľov a násobkov.

10. Osobitné postavenie čísel 1 a 0 — Číslo 1 nie je ani prvočíslo, ani zložené číslo, lebo má iba jediného deliteľa — samo seba. Číslo 0 je deliteľné každým prirodzeným číslom (0 : 5 = 0), ale nulou deliť nikdy nesmieme, pretože také delenie nemá výsledok. Tieto dva prípady sú výnimky, na ktoré si treba dať pozor pri triedení čísel.

11. Eratostenovo sito — Je to stará metóda (podľa gréckeho učenca Eratostena) na vyhľadanie všetkých prvočísel po určité číslo. Napíšeme čísla za sebou a postupne škrtáme násobky 2, potom 3, 5, 7 …; čo nezostane preškrtnuté, sú prvočísla. Pomocou sita ľahko nájdeme napríklad všetky prvočísla menšie ako 100 a pochopíme, prečo je prvočísel čoraz menej, čím vyššie ideme.

12. Spoločný deliteľ a spoločný násobok — Najväčší spoločný deliteľ (NSD) dvoch čísel je najväčšie číslo, ktorým sa delia obe naraz (napr. NSD čísel 12 a 18 je 6). Najmenší spoločný násobok (NSN) je najmenšie číslo, ktoré je násobkom oboch (napr. NSN čísel 4 a 6 je 12). NSD využívame pri krátení zlomkov a NSN pri ich sčítavaní a odčítavaní, takže deliteľnosť priamo pomáha pri počítaní so zlomkami.

1. Poučka

Číslo a je deliteľné číslom b, ak po delení a : b nezostane žiadny zvyšok (zvyšok je 0). Hovoríme, že b je deliteľ čísla a a a je násobok čísla b.

• Deliteľ čísla je číslo, ktorým dané číslo delíme bezo zvyšku.
• Násobok čísla dostaneme, keď ho vynásobíme 1, 2, 3, 4, …
• Prvočíslo je číslo väčšie ako 1, ktoré má práve dva delitele: 1 a samo seba (napr. 2, 3, 5, 7, 11).
• Zložené číslo je číslo väčšie ako 1, ktoré má viac ako dva delitele (napr. 6, 8, 9, 12).
• Číslo 1 nie je ani prvočíslo, ani zložené číslo (má len jedného deliteľa).

Znaky deliteľnosti: - 2 — ak je posledná číslica párna (0, 2, 4, 6, 8). Napr. 134. - 5 — ak je posledná číslica 0 alebo 5. Napr. 245. - 10 — ak je posledná číslica 0. Napr. 380. - 3 — ak je ciferný súčet (súčet všetkých číslic) deliteľný 3. Napr. 261 → 2 + 6 + 1 = 9.

2. Vysvetlenie

Postupuj po krokoch:

1. Hľadáš delitele? Skús, ktorými číslami sa dané číslo dá rozdeliť bezo zvyšku. Číslo 12 vydelíš číslami 1, 2, 3, 4, 6 aj 12 — to sú jeho delitele.
2. Hľadáš násobky? Vynásob číslo postupne 1, 2, 3, … Násobky čísla 4 sú: 4, 8, 12, 16, 20, …
3. Prvočíslo, alebo zložené? Zisti, koľko má číslo deliteľov. Práve dva → prvočíslo. Viac → zložené.
4. Nechceš deliť? Použi znaky deliteľnosti — stačí sa pozrieť na poslednú číslicu (pri 2, 5, 10) alebo sčítať číslice (pri 3). Je to rýchla pomôcka, ktorá ti ušetrí počítanie.

3. Príklady a prečo je to dôležité

Príklad 1 — všetky delitele čísla: Vypíš všetky delitele čísla 18.
Hľadáme dvojice čísel, ktorých súčin je 18: 1 · 18, 2 · 9, 3 · 6
Číslo 4 ani 5 nedelí 18 bez zvyšku a 6 už máme v dvojici → ďalej hľadať netreba.
Delitele čísla 18 → 1, 2, 3, 6, 9, 18
Má viac ako dva delitele, preto je 18 zložené číslo.

Príklad 2 — násobky čísla: Napíš prvých päť násobkov čísla 6.
Číslo 6 postupne násobíme číslami 1 až 5:
6 · 1 = 6, 6 · 2 = 12, 6 · 3 = 18, 6 · 4 = 24, 6 · 5 = 30
Prvých päť násobkov čísla 6 → 6, 12, 18, 24, 30

Príklad 3 — prvočíslo alebo zložené číslo: Rozhodni, či sú čísla 23 a 27 prvočísla.
23: nie je deliteľné 2, 3 ani 4 a žiadnym iným číslom okrem 1 a 23 → 23 je prvočíslo
27: 27 = 3 · 9, má aj deliteľa 3 → 27 je zložené číslo

Príklad 4 — znaky deliteľnosti 2, 3, 5, 10: Ktorými z čísel 2, 3, 5, 10 je deliteľné číslo 4 230?
Deliteľnosť 2: posledná číslica 0 je párna → áno
Deliteľnosť 3: ciferný súčet 4 + 2 + 3 + 0 = 9 a 9 je deliteľné 3 → áno
Deliteľnosť 5: končí sa na 0 → áno
Deliteľnosť 10: končí sa na 0 → áno
Číslo 4 230 je deliteľné → 2, 3, 5 aj 10

Príklad 5 — výber čísel deliteľných 3: Ktoré z čísel 51, 82, 117 sú deliteľné 3?
51: ciferný súčet 5 + 1 = 6 → deliteľné 3
82: ciferný súčet 8 + 2 = 10 → nie je deliteľné 3
117: ciferný súčet 1 + 1 + 7 = 9 → deliteľné 3
Deliteľné 3 sú → 51 a 117

Príklad 6 — z praxe, delenie spravodlivo: Máš 24 cukríkov a chceš ich rozdať deťom tak, aby každé dostalo rovnako a nič nezostalo. Koľkým deťom ich môžeš rozdať (aspoň 2 a najviac 12)?
Počet detí musí byť deliteľ čísla 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Od 2 do 12 vyhovujú → 2, 3, 4, 6, 8 alebo 12 detí

Prečo je to dôležité: Deliteľnosť používaš pri krátení zlomkov, pri hľadaní spoločného deliteľa a násobku, pri delení vecí na rovnaké časti (porcie, tímy, balenia), v geometrii (rozdelenie úsečky), a dokonca v informatike a šifrovaní, kde sú prvočísla základom bezpečnosti hesiel. Znaky deliteľnosti ti šetria čas — rýchlo zistíš výsledok bez zdĺhavého delenia.

Precvič si

1. Vypíš všetky delitele čísla 20.
2. Napíš prvých šesť násobkov čísla 8.
3. Ktoré z čísel 45, 58, 70, 93 sú deliteľné 5?
4. Ktorými z čísel 2, 3, 5, 10 je deliteľné číslo 2 715?
5. Rozhodni pri každom čísle, či je prvočíslo alebo zložené: 31, 39, 41, 51.
6. Trieda má 36 žiakov. Učiteľ ich chce rozdeliť do rovnako veľkých skupín, v každej aspoň 4 a najviac 10 žiakov. Aké veľké môžu byť skupiny?