Desatinné čísla – násobenie a delenie Nezačaté

0. Kľúčové fakty

1. Desatinné číslo — je číslo, ktoré má celú a desatinnú časť oddelenú desatinnou čiarkou, napríklad 3,75. Číslice za čiarkou vyjadrujú desatiny, stotiny, tisíciny atď. Vďaka desatinným číslam vieme presne zapísať hodnoty, ktoré nie sú celé, ako sú ceny, dĺžky či hmotnosti.

2. Násobenie desatinného čísla prirodzeným číslom — počítame rovnako ako pri prirodzených číslach, len na záver v súčine oddelíme čiarkou toľko desatinných miest, koľko ich mal pôvodný činiteľ. Napríklad 2,4 · 3 = 7,2, lebo 24 · 3 = 72 a oddelíme jedno miesto. Tento postup je dôležitý pri počítaní cien viacerých rovnakých vecí.

3. Násobenie dvoch desatinných čísel — vynásobíme čísla bez ohľadu na čiarku a potom v súčine oddelíme toľko desatinných miest, koľko ich majú oba činitele dohromady. Napríklad 1,2 · 0,5 = 0,60, lebo 12 · 5 = 60 a spolu sú dve desatinné miesta. Pravidlo o počte miest je kľúčové, aby výsledok nebol mnohonásobne väčší alebo menší.

4. Násobenie 10, 100, 1000 — desatinnú čiarku posúvame doprava o toľko miest, koľko je núl v čísle. Napríklad 3,45 · 100 = 345, čiarku sme posunuli o dve miesta. Ide o rýchly spôsob, ktorý sa využíva pri prevodoch jednotiek, napríklad z metrov na centimetre.

5. Delenie desatinného čísla prirodzeným číslom — delíme ako prirodzené čísla, ale keď pri delení prejdeme cez desatinnú čiarku v delencovi, napíšeme čiarku aj do podielu. Napríklad 7,5 : 3 = 2,5. Ak delenie nevychádza, môžeme k delencovi pridávať nuly za čiarku a počítať ďalej.

6. Delenie 10, 100, 1000 — desatinnú čiarku posúvame doľava o toľko miest, koľko je núl v deliteľovi. Napríklad 56,7 : 10 = 5,67, čiarku sme posunuli o jedno miesto doľava. Ak chýbajú číslice, doplníme nuly, napríklad 4 : 100 = 0,04.

7. Delenie desatinným číslom — deliteľa najprv premeníme na prirodzené číslo tak, že v delencovi aj deliteľovi posunieme čiarku o rovnaký počet miest doprava. Napríklad 6 : 0,5 zmeníme na 60 : 5 = 12. Toto pravidlo funguje, lebo násobenie delenca aj deliteľa rovnakým číslom hodnotu podielu nezmení.

8. Zaokrúhľovanie desatinných čísel — pozeráme sa na prvú číslicu za miestom, na ktoré zaokrúhľujeme: ak je 5 alebo viac, zaokrúhľujeme nahor, ak je menej ako 5, nadol. Napríklad 3,47 zaokrúhlené na desatiny je 3,5 a na celé číslo je 3. Zaokrúhľovanie sa používa pri odhadoch a vtedy, keď nepotrebujeme úplnú presnosť, napríklad pri cenách v eurách.

9. Odhad výsledku — pred presným výpočtom je užitočné odhadnúť výsledok zaokrúhlením činiteľov alebo delenca a deliteľa. Napríklad pri 4,9 · 3,1 odhadneme 5 · 3 = 15, takže presný výsledok 15,19 vieme overiť. Odhad pomáha rýchlo odhaliť hrubú chybu, napríklad zle umiestnenú čiarku.

10. Kontrola správnosti skúškou — výsledok delenia overíme násobením: ak platí podiel · deliteľ = delenec, počítali sme správne. Napríklad 12,6 : 3 = 4,2, lebo 4,2 · 3 = 12,6. Skúška je dôležitý návyk, ktorý znižuje počet chýb v praktických úlohách.

11. Praktické úlohy s peniazmi a mierami — desatinné čísla najčastejšie používame pri počítaní cien, hmotností, dĺžok a objemov. Napríklad cenu 1,5 kg jabĺk po 1,20 € za kilogram vypočítame ako 1,5 · 1,20 = 1,80 €. Vďaka násobeniu a deleniu desatinných čísel vieme riešiť bežné nákupné a meracie situácie.

12. Desatinná čiarka ako kľúč k presnosti — najčastejšia chyba pri výpočtoch je zle umiestnená alebo zabudnutá desatinná čiarka, čo zmení výsledok desaťnásobne aj stonásobne. Preto vždy kontrolujeme počet desatinných miest a porovnávame výsledok s odhadom. Správna práca s čiarkou je základom presných výpočtov v matematike aj v praxi.

1. Poučka

Násobenie a delenie 10, 100, 1000: desatinnú čiarku posunieme doprava (násobenie) alebo doľava (delenie) o toľko miest, koľko je v čísle 10, 100, 1000 núl.

Násobenie desatinného čísla prirodzeným číslom: násobíme ako prirodzené čísla (akoby tam čiarka nebola) a do súčinu dáme čiarku tak, aby mal súčin toľko desatinných miest, koľko mal desatinný činiteľ.

Násobenie dvoch desatinných čísel: súčin má toľko desatinných miest, koľko ich majú oba činitele dokopy.

Delenie desatinného čísla prirodzeným číslom: delíme ako obyčajne; čiarku v podiele napíšeme vtedy, keď v delení „prejdeme cez" desatinnú čiarku deleného.

Delenie desatinným číslom: deliteľ aj delenec vynásobíme 10, 100, 1000 tak, aby sa deliteľ stal prirodzeným číslom; potom delíme prirodzeným číslom.

2. Vysvetlenie

Postupuj po krokoch:

1. Krát 10, 100, 1000 → čiarka skáče doprava (číslo sa zväčší). Napr. 3,5 · 10 = 35.
2. Deleno 10, 100, 1000 → čiarka skáče doľava (číslo sa zmenší). Napr. 3,5 : 10 = 0,35.
3. Násobenie: najprv vynásob čísla bez čiarky, potom spočítaj desatinné miesta v oboch činiteľoch a odzadu odpočítaj toľko miest – tam daj čiarku.
4. Delenie prirodzeným číslom: deľ normálne, len nezabudni napísať čiarku v podiele, keď v delencovi prídeš k čiarke.
5. Delenie desatinným číslom: „zbav sa" čiarky v deliteľovi tým, že obe čísla posunieš o rovnaký počet miest. 2,4 : 0,6 = 24 : 6 = 4.
6. Zaokrúhľovanie: pozri sa na číslicu hneď za miestom, na ktoré zaokrúhľuješ. 0–4 → nadol, 5–9 → nahor.

3. Príklady a prečo je to dôležité

Príklad 1 — násobenie a delenie 10, 100, 1000: Vypočítaj 7,2 · 100 a 45,6 : 10.
7,2 · 100: číslo 100 má 2 nuly, čiarku posunieme o 2 miesta doprava. Chýbajúce miesto doplníme nulou: 7,20 → 720
45,6 : 10: číslo 10 má 1 nulu, čiarku posunieme o 1 miesto doľava: 45,6 → 4,56
Výsledky: 7,2 · 100 = 720 a 45,6 : 10 = 4,56

Príklad 2 — desatinné číslo krát prirodzené číslo: Vypočítaj 3,7 · 4.
Násobíme bez čiarky: 37 · 4 = 148
Činiteľ 3,7 má 1 desatinné miesto, preto aj súčin má 1 desatinné miesto: 14,8
Výsledok: 3,7 · 4 = 14,8

Príklad 3 — dve desatinné čísla: Vypočítaj 1,2 · 0,3.
Násobíme bez čiarky: 12 · 3 = 36
Desatinné miesta: 1,2 má 1 a 0,3 má 1, spolu 2 miesta.
Odzadu odpočítame 2 miesta, chýbajúce miesto doplníme nulou: 0,36
Výsledok: 1,2 · 0,3 = 0,36

Príklad 4 — delenie prirodzeným číslom: Vypočítaj 9,6 : 4.
9 : 4 = 2, zvyšok 1. Prešli sme cez čiarku, v podiele napíšeme čiarku: 2,
Zvyšok 1 a ďalšia číslica 6 dávajú 16. 16 : 4 = 4
Skúška: 2,4 · 4 = 9,6 ✓
Výsledok: 9,6 : 4 = 2,4

Príklad 5 — delenie desatinným číslom: Vypočítaj 8,4 : 0,7.
Deliteľ 0,7 má 1 desatinné miesto. Obe čísla vynásobíme 10, aby deliteľ nemal čiarku: 8,4 : 0,7 = 84 : 7
84 : 7 = 12
Skúška: 12 · 0,7 = 8,4 ✓
Výsledok: 8,4 : 0,7 = 12

Príklad 6 — z praxe, nákup a zaokrúhlenie: 1 kg jabĺk stojí 1,80 €. Koľko zaplatíš za 2,5 kg?
Násobíme bez čiarky: 18 · 25 = 450 (nulu na konci 1,80 sme vynechali, 1,80 = 1,8)
Desatinné miesta: 1,8 má 1 a 2,5 má 1, spolu 2 miesta: 4,50
Ceny zapisujeme na 2 desatinné miesta (centy), tu nie je čo zaokrúhľovať.
Výsledok: 1,80 · 2,5 = 4,50 €

Príklad 7 — z praxe, delenie účtu: Pizza stojí 12,60 €. Štyria kamaráti sa podelia rovnakým dielom. Koľko zaplatí každý?
12 : 4 = 3, zvyšok 0. Napíšeme čiarku: 3,
6 : 4 = 1, zvyšok 2. Ďalej 20 : 4 = 5
Skúška: 3,15 · 4 = 12,60 ✓
Výsledok: 12,60 : 4 = 3,15 € na osobu

Prečo je to dôležité: s desatinnými číslami počítaš zakaždým, keď ide o peniaze (ceny, výdavok, zľavy), o meranie (dĺžka v metroch, hmotnosť v kg, objem v litroch) alebo o jednotky paliva, energie či času. Kto vie rýchlo a správne násobiť a deliť desatinné čísla, nedá sa oklamať pri nákupe a vie si overiť účet, zľavu aj spotrebu.

Precvič si

1. Vypočítaj 0,47 · 1000.
2. Vypočítaj 56,3 : 100.
3. Vypočítaj 3,8 · 6.
4. Vypočítaj 2,4 · 1,5.
5. Vypočítaj 14,4 : 0,12.
6. Liter benzínu stojí 1,65 €. Otec natankoval 32,5 litra. Koľko zaplatil? Výsledok zaokrúhli na celé centy.