Kruh a kružnica Nezačaté

0. Kľúčové fakty

1. Kružnica — Kružnica je rovinná krivka (uzavretá čiara) zložená zo všetkých bodov roviny, ktoré majú od jedného bodu (stredu) rovnakú vzdialenosť. Je to teda len „obrys" — samotná čiara bez vnútra. Označujeme ju zvyčajne písmenom k a zapisujeme k(S; r), kde S je stred a r je polomer.

2. Kruh — Kruh je celá plocha (rovinný útvar) ohraničená kružnicou — patrí doň aj samotná hraničná kružnica, aj všetky body vnútri nej. Rozdiel medzi kruhom a kružnicou je kľúčový: kružnica má dĺžku (obvod), kým kruh má obsah (plochu). Predstav si tanier — okraj taniera je kružnica, celá plocha taniera je kruh.

3. Stred (S) — Stred je pevný bod, od ktorého majú všetky body kružnice rovnakú vzdialenosť. Je to základný bod, okolo ktorého kružnicu zostrojujeme kružidlom. Stred sám neleží na kružnici, ale vnútri kruhu.

4. Polomer (r) — Polomer je vzdialenosť stredu od ktoréhokoľvek bodu na kružnici, čiže úsečka spájajúca stred S s bodom kružnice. Všetky polomery jednej kružnice sú rovnako dlhé. Polomer je najdôležitejší rozmer — keď ho poznáme, vieme vypočítať obvod aj obsah.

5. Priemer (d) — Priemer je úsečka, ktorá spája dva body kružnice a zároveň prechádza stredom; je to najdlhšia možná tetiva. Priemer je vždy dvojnásobok polomeru, teda platí d = 2 · r (a opačne r = d/2). Priemer rozdeľuje kruh na dve rovnaké polovice (polkruhy).

6. Tetiva — Tetiva je úsečka spájajúca ľubovoľné dva body kružnice, ktorá nemusí prechádzať stredom. Najdlhšia tetiva v kružnici je práve priemer. Tetiva rozdeľuje kruh na dve nerovnaké časti — kruhové odseky.

7. Ludolfovo číslo π (pí) — π je konštanta, ktorá vyjadruje, koľkokrát je obvod kružnice väčší ako jej priemer; tento pomer je rovnaký pre každú kružnicu. Je to iracionálne číslo (má nekonečný neperiodický desatinný rozvoj), pri výpočtoch používame zaokrúhlenú hodnotu π ≈ 3,14 (presnejšie 3,14159…). Názov pochádza od matematika Ludolpha van Ceulena, ktorý ho vypočítal na mnoho desatinných miest.

8. Dĺžka kružnice (obvod) o — Obvod kružnice vypočítame zo vzorca o = 2 · π · r alebo o = π · d. Vzorec vychádza priamo z definície π (obvod ÷ priemer = π), preto obvod získame opačne — vynásobením priemeru číslom π. Používa sa napríklad pri výpočte, koľko pletiva treba na okrúhly záhon alebo akú dráhu prejde koleso za jednu otáčku.

9. Obsah kruhu S — Obsah (plochu) kruhu vypočítame zo vzorca S = π · r², čiže polomer umocníme na druhú a vynásobíme číslom π. Pozor na časté zámeny: do vzorca dosadzujeme polomer, nie priemer, a výsledok je v štvorcových jednotkách (cm², m²). Obsah používame, keď chceme zistiť plochu — napríklad koľko trávnika pokryje okrúhly bazén.

10. Medzikružie — Medzikružie je plocha medzi dvoma sústrednými kružnicami (kružnicami s rovnakým stredom, ale rôznym polomerom). Pripomína prstenec alebo plochu CD. Jeho obsah vypočítame ako rozdiel obsahov väčšieho a menšieho kruhu: S = π · R² − π · r² = π · (R² − r²), kde R je väčší a r menší polomer.

11. Vzájomná poloha bodu a kružnice — Bod môže ležať na kružnici (jeho vzdialenosť od stredu sa rovná polomeru), vnútri kruhu (vzdialenosť je menšia ako r) alebo mimo kruhu (vzdialenosť je väčšia ako r). Toto porovnanie vzdialenosti s polomerom je jednoduchý spôsob, ako určiť, kde sa bod nachádza. Pomáha to napríklad pri rysovaní a riešení konštrukčných úloh.

12. Kružidlo a zostrojovanie — Kružnicu rysujeme kružidlom: jeho hrot zapichneme do stredu S a vzdialenosť hrotov nastavíme na polomer r. Otočením o 360° opíšeme celú kružnicu. Práve preto je polomer pri rysovaní rozhodujúci — určuje veľkosť celého útvaru.

1. Poučka

Kružnica je množina všetkých bodov v rovine, ktoré majú od jedného pevného bodu (stredu S) rovnakú vzdialenosť — polomer r. Je to len čiara (krivka). Kruh je kružnica spolu s celou plochou vo svojom vnútri. Je to plocha. Medzikružie je plocha medzi dvomi kružnicami s tým istým stredom (rôzny polomer).

Časti: stred S, polomer r, priemer d = 2r, tetiva (úsečka spájajúca dva body kružnice), sečnica (priamka pretínajúca kružnicu v 2 bodoch), dotyčnica (priamka dotýkajúca sa v 1 bode).

Ludolfovo číslo π ≈ 3,14 (presnejšie 3,14159…) — koľkokrát sa priemer „zmestí" do obvodu.

• Obvod (dĺžka kružnice): o = π · d = 2 · π · r
• Obsah kruhu: S = π · r²

2. Vysvetlenie

1. Vezmi pevný bod — to je stred.
2. Všetky body v rovnakej vzdialenosti od neho tvoria kružnicu (čiaru). Vzdialenosť = polomer.
3. Ak vyplníš aj vnútro, vznikne kruh (plocha).
4. Priemer je dvakrát polomer (prechádza stredom): d = 2r.
5. Číslo π ti hovorí, ako dlhá je kružnica: keď priemer vynásobíš π, dostaneš obvod.
6. Plochu (obsah) získaš tak, že polomer umocníš na druhú a vynásobíš π: S = π · r².
7. Pri počítaní použi π ≈ 3,14 a nezabudni na jednotky (cm pri obvode, cm² pri obsahu).

3. Príklady a prečo je to dôležité

Príklad 1 — obvod z polomeru: Kruhový tanier má polomer r = 15 cm. Aký dlhý je jeho okraj (obvod)?
Vzorec: o = 2 · π · r, kde π ≈ 3,14
o = 2 · 3,14 · 15 = 6,28 · 15 = 94,2 cm

Príklad 2 — obsah kruhu: Aký obsah má ten istý tanier s polomerom 15 cm?
Vzorec: S = π · r²
r² = 15 · 15 = 225
S = 3,14 · 225 = 706,5 cm²

Príklad 3 — obsah z priemeru: Okrúhly koberec má priemer d = 3 m. Aký má obsah?
Najprv polomer: r = d : 2 = 3 : 2 = 1,5 m
r² = 1,5 · 1,5 = 2,25
S = 3,14 · 2,25 = 7,065 → približne 7,07 m²

Príklad 4 — z praxe (koleso): Koleso bicykla má priemer 70 cm. Akú dráhu prejde za 100 otáčok?
Za jednu otáčku prejde dĺžku obvodu: o = π · d = 3,14 · 70 = 219,8 cm
Za 100 otáčok: 219,8 · 100 = 21 980 cm = 219,8 m
Po zaokrúhlení na metre → 220 m

Príklad 5 — z praxe (plot): Okrúhly bazén má polomer 2 m. Koľko metrov pletiva treba na ohradenie po okraji?
Pletivo ide okolo → počítam obvod: o = 2 · 3,14 · 2 = 12,56 m

Príklad 6 — medzikružie: Terč má vonkajší polomer R = 10 cm a vnútorný kruh s polomerom r = 4 cm. Aký obsah má farebné medzikružie?
Obsah veľkého kruhu: 3,14 · 10² = 3,14 · 100 = 314 cm²
Obsah malého kruhu: 3,14 · 4² = 3,14 · 16 = 50,24 cm²
Medzikružie = veľký kruh − malý kruh: 314 − 50,24 = 263,76 cm²

Prečo je to dôležité: Kruhy sú všade — kolesá, hodiny, taniere, potrubia, pizza, dopravné značky. Keď vieš počítať obvod a obsah, vieš zistiť, koľko materiálu treba (plot okolo záhona, obklad na okrúhly stôl), akú dráhu prejde koleso, alebo či sa väčšia pizza naozaj oplatí viac.

Precvič si

1. Kružnica má polomer r = 5 cm. Vypočítaj jej dĺžku (obvod).
2. Kružnica má priemer d = 12 cm. Vypočítaj jej dĺžku.
3. Kruh má polomer r = 6 cm. Vypočítaj jeho obsah.
4. Koleso s priemerom 50 cm sa otočí 200-krát. Akú dráhu prejde? Výsledok zapíš v metroch.
5. Medzikružie má polomery R = 6 cm a r = 3 cm. Vypočítaj jeho obsah.
6. Čo je viac pizze: jedna pizza s priemerom 30 cm, alebo dve pizze s priemerom 20 cm?