Kružnica a kruh Nezačaté

0. Kľúčové fakty

1. Kružnica — Kružnica je rovinná krivka, ktorá obsahuje všetky body roviny majúce od jedného pevného bodu (stredu) rovnakú vzdialenosť. Je to len samotná „čiara" — uzavretá zakrivená línia bez vnútra. Označuje sa zvyčajne malým písmenom, napríklad kružnica k, a zapisuje sa k(S; r), kde S je stred a r polomer.

2. Kruh — Kruh je celá rovinná plocha ohraničená kružnicou vrátane jej vnútra. Na rozdiel od kružnice (iba čiara) kruh tvoria všetky body, ktorých vzdialenosť od stredu je menšia alebo rovná polomeru. Práve preto má kruh obsah (plochu), zatiaľ čo kružnica má len dĺžku (obvod).

3. Stred S — Stred je pevný bod, od ktorého majú všetky body kružnice rovnakú vzdialenosť. Je to „srdce" kružnice aj kruhu a pri rysovaní doň zapichujeme hrot kružidla. Stred sám neleží na kružnici, ale vo vnútri kruhu.

4. Polomer (rádius) r — Polomer je úsečka spájajúca stred kružnice s ľubovoľným bodom na kružnici, prípadne jej dĺžka. Všetky polomery tej istej kružnice majú rovnakú dĺžku, čo je základná vlastnosť kružnice. Polomerom nastavujeme rozpätie kružidla a od neho sa odvíjajú všetky ďalšie výpočty.

5. Priemer d — Priemer je úsečka, ktorá spája dva body kružnice a prechádza cez jej stred; je to najdlhšia možná tetiva. Platí vzťah d = 2 · r, teda priemer je dvojnásobok polomeru a naopak polomer je polovica priemeru (r = d : 2). Priemer rozdeľuje kruh na dva rovnaké polkruhy.

6. Tetiva — Tetiva je úsečka spájajúca ľubovoľné dva body kružnice, ktorá nemusí prechádzať stredom. Čím je tetiva bližšie k stredu, tým je dlhšia; najdlhšou tetivou je práve priemer. Tetiva rozdeľuje kruh na dve nerovnaké časti nazývané kruhové odseky.

7. Dotyčnica — Dotyčnica je priamka, ktorá má s kružnicou práve jeden spoločný bod, nazývaný bod dotyku. V bode dotyku je dotyčnica vždy kolmá na polomer vedený do tohto bodu — to je jej kľúčová vlastnosť využívaná pri konštrukciách. Podľa počtu spoločných bodov rozlišujeme priamku nesečnicu (0 bodov), dotyčnicu (1 bod) a sečnicu (2 body).

8. Sečnica — Sečnica je priamka, ktorá pretína kružnicu v dvoch bodoch. Časť sečnice ležiaca vnútri kruhu medzi týmito dvoma bodmi je práve tetiva. Sečnica nám pomáha pochopiť rozdiel medzi priamkou, ktorá kružnicu „prepichne", a dotyčnicou, ktorá sa jej len „dotkne".

9. Ludolfovo číslo π (pí) — π je konštanta vyjadrujúca, koľkokrát je obvod kružnice väčší ako jej priemer; pre každú kružnicu má rovnakú hodnotu približne 3,14 (presnejšie 3,1415…). Je to nekonečné neperiodické desatinné číslo, preto pri počítaní používame zaokrúhlenú hodnotu. Vďaka π vieme prepojiť priamu mieru (priemer) so zakrivenou mierou (obvod).

10. Obvod kružnice — Obvod o je dĺžka celej kružnice a počíta sa podľa vzorca o = π · d alebo o = 2 · π · r. Vyjadruje, akú dlhú dráhu by sme prešli pri obehnutí kružnice presne raz dookola. Tento vzorec je základ pre úlohy o kolesách, kruhových objektoch a dráhach.

11. Obsah kruhu — Obsah S vyjadruje veľkosť plochy vnútri kruhu a počíta sa vzorcom S = π · r². Pozor: do vzorca dosadzujeme polomer, nie priemer, a polomer sa najprv umocňuje na druhú. Obsah udávame v štvorcových jednotkách (cm², m²), kým obvod v dĺžkových jednotkách (cm, m).

12. Vzájomná poloha dvoch kružníc — Dve kružnice môžu byť navzájom rôzne umiestnené: nemajú spoločný bod (vonkajšie alebo vnútorné), dotýkajú sa v jednom bode (vonkajší alebo vnútorný dotyk), alebo sa pretínajú v dvoch bodoch. Túto polohu určuje vzdialenosť stredov porovnaná so súčtom či rozdielom ich polomerov. Je to dôležité pri konštrukčných úlohách, napríklad pri rysovaní trojuholníka z daných strán.

13. Konštrukcia kružnice kružidlom — Kružnicu narysujeme tak, že hrot kružidla zapichneme do stredu S a rozpätie nastavíme na dĺžku polomeru r. Presnosť závisí od pevného hrotu a nemeniaceho sa rozpätia počas otáčania. Tento postup je základom všetkých geometrických konštrukcií, kde sa kružnice používajú na prenášanie vzdialeností a hľadanie priesečníkov.

1. Poučka

Kružnica je množina všetkých bodov roviny, ktoré majú od jedného pevného bodu (stredu) rovnakú vzdialenosť. Je to len „čiara" — krivka. Kruh je celá plocha ohraničená kružnicou — teda kružnica aj s vnútrom.

Označenia a vzťahy: - Stred S — pevný bod v strede. - Polomer r — vzdialenosť stredu od ľubovoľného bodu kružnice. - Priemer d — najdlhšia úsečka cez stred, pričom d = 2 · r (a teda r = d : 2). - Tetiva — úsečka spájajúca dva body kružnice (ak prechádza stredom, je to priemer). - Dotyčnica — priamka, ktorá sa kružnice dotýka v jedinom bode; v tomto bode je kolmá na polomer.

2. Vysvetlenie

Predstav si špendlík zapichnutý do papiera (to je stred S) a nitku dĺžky r priviazanú k ceruzke. Keď napnutou nitkou obkreslíš celé kolečko, ceruzka nakreslí kružnicu. To, čo je vnútri tej čiary, je kruh.

Po krokoch: 1. Zvolím stred S. 2. Nastavím polomer r (otvorím kružidlo na danú dĺžku). 3. Otočím kružidlo o 360° → vznikne kružnica. 4. Priemer dostanem tak, že nakreslím úsečku cez stred od jedného okraja po druhý: d = 2 · r. 5. Tetiva je každá úsečka „od okraja k okraju", ktorá nemusí ísť cez stred. Najdlhšia možná tetiva je priemer. 6. Dotyčnica sa kružnice „len obtrie" v jednom bode — pripomína cestu, po ktorej sa kotúľa loptička.

3. Príklady a prečo je to dôležité

1. Koleso bicykla — obvodová pneumatika je kružnica, celé koleso je kruh. Polomer určuje, aký vysoký je bicykel.
2. Pizza — okraj cesta je kružnica, celá pizza je kruh. Keď ju rozkrojíš cez stred, rez má dĺžku priemeru d.
3. Ciferník hodín — ručičky sa otáčajú okolo stredu; každá poloha ručičky je vlastne polomer.
4. Dopravné značky — okrúhle zákazové značky sú kruhy; výrobca potrebuje poznať priemer, aby ich vyrobil rovnaké.
5. Cestná zákruta a auto — dráha kolesa, ktoré sa kotúľa po ceste, sa cesty dotýka — to je presne dotyčnica ku kružnici kolesa.
6. Studňa alebo kruhový bazén — kraj je kružnica, vodná hladina je kruh; tetiva je napr. lano natiahnuté ponad hladinu z jednej strany na druhú.

Prečo je to dôležité: kružnica a kruh sú všade okolo nás — od kolies, ozubených koliesok a hodín až po architektúru a šport. Bez presných pojmov polomer, priemer a dotyčnica by sme nevedeli nič okrúhle správne narysovať, zmerať ani vyrobiť. Sú aj základom pre neskoršie učivo: obvod a obsah kruhu, uhly a konštrukcie.