Kružnica a kruh Nezačaté

0. Kľúčové fakty

1. Kružnica — Kružnica je rovinná krivka, ktorá obsahuje všetky body roviny majúce od jedného pevného bodu (stredu) rovnakú vzdialenosť. Je to len samotná „čiara" — uzavretá zakrivená línia bez vnútra. Označuje sa zvyčajne malým písmenom, napríklad kružnica k, a zapisuje sa k(S; r), kde S je stred a r polomer.

2. Kruh — Kruh je celá rovinná plocha ohraničená kružnicou vrátane jej vnútra. Na rozdiel od kružnice (iba čiara) kruh tvoria všetky body, ktorých vzdialenosť od stredu je menšia alebo rovná polomeru. Práve preto má kruh obsah (plochu), zatiaľ čo kružnica má len dĺžku (obvod).

3. Stred S — Stred je pevný bod, od ktorého majú všetky body kružnice rovnakú vzdialenosť. Je to „srdce" kružnice aj kruhu a pri rysovaní doň zapichujeme hrot kružidla. Stred sám neleží na kružnici, ale vo vnútri kruhu.

4. Polomer (rádius) r — Polomer je úsečka spájajúca stred kružnice s ľubovoľným bodom na kružnici, prípadne jej dĺžka. Všetky polomery tej istej kružnice majú rovnakú dĺžku, čo je základná vlastnosť kružnice. Polomerom nastavujeme rozpätie kružidla a od neho sa odvíjajú všetky ďalšie výpočty.

5. Priemer d — Priemer je úsečka, ktorá spája dva body kružnice a prechádza cez jej stred; je to najdlhšia možná tetiva. Platí vzťah d = 2 · r, teda priemer je dvojnásobok polomeru a naopak polomer je polovica priemeru (r = d : 2). Priemer rozdeľuje kruh na dva rovnaké polkruhy.

6. Tetiva — Tetiva je úsečka spájajúca ľubovoľné dva body kružnice, ktorá nemusí prechádzať stredom. Čím je tetiva bližšie k stredu, tým je dlhšia; najdlhšou tetivou je práve priemer. Tetiva rozdeľuje kruh na dve nerovnaké časti nazývané kruhové odseky.

7. Dotyčnica — Dotyčnica je priamka, ktorá má s kružnicou práve jeden spoločný bod, nazývaný bod dotyku. V bode dotyku je dotyčnica vždy kolmá na polomer vedený do tohto bodu — to je jej kľúčová vlastnosť využívaná pri konštrukciách. Podľa počtu spoločných bodov rozlišujeme priamku nesečnicu (0 bodov), dotyčnicu (1 bod) a sečnicu (2 body).

8. Sečnica — Sečnica je priamka, ktorá pretína kružnicu v dvoch bodoch. Časť sečnice ležiaca vnútri kruhu medzi týmito dvoma bodmi je práve tetiva. Sečnica nám pomáha pochopiť rozdiel medzi priamkou, ktorá kružnicu „prepichne", a dotyčnicou, ktorá sa jej len „dotkne".

9. Ludolfovo číslo π (pí) — π je konštanta vyjadrujúca, koľkokrát je obvod kružnice väčší ako jej priemer; pre každú kružnicu má rovnakú hodnotu približne 3,14 (presnejšie 3,1415…). Je to nekonečné neperiodické desatinné číslo, preto pri počítaní používame zaokrúhlenú hodnotu. Vďaka π vieme prepojiť priamu mieru (priemer) so zakrivenou mierou (obvod).

10. Obvod kružnice — Obvod o je dĺžka celej kružnice a počíta sa podľa vzorca o = π · d alebo o = 2 · π · r. Vyjadruje, akú dlhú dráhu by sme prešli pri obehnutí kružnice presne raz dookola. Tento vzorec je základ pre úlohy o kolesách, kruhových objektoch a dráhach.

11. Obsah kruhu — Obsah S vyjadruje veľkosť plochy vnútri kruhu a počíta sa vzorcom S = π · r². Pozor: do vzorca dosadzujeme polomer, nie priemer, a polomer sa najprv umocňuje na druhú. Obsah udávame v štvorcových jednotkách (cm², m²), kým obvod v dĺžkových jednotkách (cm, m).

12. Vzájomná poloha dvoch kružníc — Dve kružnice môžu byť navzájom rôzne umiestnené: nemajú spoločný bod (vonkajšie alebo vnútorné), dotýkajú sa v jednom bode (vonkajší alebo vnútorný dotyk), alebo sa pretínajú v dvoch bodoch. Túto polohu určuje vzdialenosť stredov porovnaná so súčtom či rozdielom ich polomerov. Je to dôležité pri konštrukčných úlohách, napríklad pri rysovaní trojuholníka z daných strán.

13. Konštrukcia kružnice kružidlom — Kružnicu narysujeme tak, že hrot kružidla zapichneme do stredu S a rozpätie nastavíme na dĺžku polomeru r. Presnosť závisí od pevného hrotu a nemeniaceho sa rozpätia počas otáčania. Tento postup je základom všetkých geometrických konštrukcií, kde sa kružnice používajú na prenášanie vzdialeností a hľadanie priesečníkov.

1. Poučka

Kružnica je množina všetkých bodov roviny, ktoré majú od jedného pevného bodu (stredu) rovnakú vzdialenosť. Je to len „čiara" — krivka. Kruh je celá plocha ohraničená kružnicou — teda kružnica aj s vnútrom.

Označenia a vzťahy: - Stred S — pevný bod v strede. - Polomer r — vzdialenosť stredu od ľubovoľného bodu kružnice. - Priemer d — najdlhšia úsečka cez stred, pričom d = 2 · r (a teda r = d : 2). - Tetiva — úsečka spájajúca dva body kružnice (ak prechádza stredom, je to priemer). - Dotyčnica — priamka, ktorá sa kružnice dotýka v jedinom bode; v tomto bode je kolmá na polomer.

2. Vysvetlenie

Predstav si špendlík zapichnutý do papiera (to je stred S) a nitku dĺžky r priviazanú k ceruzke. Keď napnutou nitkou obkreslíš celé kolečko, ceruzka nakreslí kružnicu. To, čo je vnútri tej čiary, je kruh.

Po krokoch: 1. Zvolím stred S. 2. Nastavím polomer r (otvorím kružidlo na danú dĺžku). 3. Otočím kružidlo o 360° → vznikne kružnica. 4. Priemer dostanem tak, že nakreslím úsečku cez stred od jedného okraja po druhý: d = 2 · r. 5. Tetiva je každá úsečka „od okraja k okraju", ktorá nemusí ísť cez stred. Najdlhšia možná tetiva je priemer. 6. Dotyčnica sa kružnice „len obtrie" v jednom bode — pripomína cestu, po ktorej sa kotúľa loptička.

3. Príklady a prečo je to dôležité

Príklad 1 — priemer z polomeru: Koleso bicykla má polomer r = 30 cm. Aký má priemer?
Priemer je dvojnásobok polomeru: d = 2 · r
d = 2 · 30 = 60 cm

Príklad 2 — polomer z priemeru: Pizza má priemer d = 32 cm. Aký má polomer?
Polomer je polovica priemeru: r = d : 2
r = 32 : 2 = 16 cm

Príklad 3 — konštrukcia kružnice a priemeru: Narysuj kružnicu k so stredom S a polomerom 2,5 cm a narysuj jej priemer.
Vyznačíme bod S a kružidlo roztvoríme na 2,5 cm.
Hrot zapichneme do S a narysujeme kružnicu k.
Na kružnici zvolíme bod A a pravítkom vedieme priamku cez body A a S.
Priamka pretne kružnicu ešte v bode B → úsečka AB je priemer.
Dĺžka priemeru: d = 2 · 2,5 = 5 cm

Príklad 4 — tetiva a priemer: Kružnica má polomer 4 cm. Tetiva KL neprechádza stredom. Môže byť dlhšia ako 8 cm?
Najdlhšia tetiva je priemer: d = 2 · 4 = 8 cm.
Tetiva, ktorá neprechádza stredom, je vždy kratšia ako priemer → nie, je kratšia ako 8 cm

Príklad 5 — dotyčnica: Zostroj dotyčnicu ku kružnici k so stredom S a polomerom 3 cm v jej bode T.
Narysujeme kružnicu k a na nej vyznačíme bod T.
Narysujeme polomer ST.
Trojuholník s ryskou priložíme ryskou na ST tak, aby pravý uhol bol v bode T, a narysujeme kolmú priamku t.
Priamka t má s kružnicou jediný spoločný bod T, je to dotyčnica.
Uhol medzi dotyčnicou t a polomerom ST → 90°

Príklad 6 — kruhový záhon (z praxe): Záhradník chce vyznačiť kruhový záhon s priemerom 3 m pomocou kolíka v strede a napnutej šnúry. Aká dlhá musí byť šnúra?
Šnúra od kolíka k okraju je polomer: r = d : 2
r = 3 : 2 = 1,5 m

Prečo je to dôležité: kružnica a kruh sú všade okolo nás — od kolies, ozubených koliesok a hodín až po architektúru a šport. Bez presných pojmov polomer, priemer a dotyčnica by sme nevedeli nič okrúhle správne narysovať, zmerať ani vyrobiť. Sú aj základom pre neskoršie učivo: obvod a obsah kruhu, uhly a konštrukcie.

Precvič si

1. Kružnica má polomer r = 6 cm. Aký má priemer?
2. Kruh má priemer d = 15 cm. Aký má polomer?
3. Ktorá tetiva je v kružnici s polomerom 5 cm najdlhšia a koľko meria?
4. Narysuj kružnicu so stredom S a polomerom 3 cm a bod A, ktorý je od S vzdialený 5 cm. Leží bod A vnútri kružnice, na nej, alebo mimo nej?
5. Koľko spoločných bodov má s kružnicou sečnica, dotyčnica a nesečnica?
6. Bod T leží na kružnici so stredom S a polomerom 4 cm. V bode T je narysovaná dotyčnica t. Aký uhol zviera dotyčnica t s polomerom ST a aká je vzdialenosť bodu S od dotyčnice?