Lineárna funkcia Nezačaté

0. Kľúčové fakty

1. Lineárna funkcia — je funkcia daná predpisom y = k · x + q, kde k a q sú reálne čísla (konštanty) a x je premenná. Každému číslu x priraďuje práve jedno číslo y, pričom závislosť je „rovnomerná" — preto sa nazýva lineárna. Je to jeden z najdôležitejších typov funkcií, lebo opisuje množstvo bežných dejov, kde sa veličina mení stálym tempom.

2. Smernica k — koeficient k pri premennej x sa volá smernica (koeficient smeru) a určuje sklon grafu. Hovorí, o koľko sa zmení hodnota y, keď sa x zväčší o 1; čím väčšia je absolútna hodnota k, tým je priamka strmšia. Práve znamienko smernice rozhoduje o tom, či je funkcia rastúca alebo klesajúca.

3. Absolútny člen q — číslo q v predpise y = k · x + q udáva zvislý posun grafu a je to hodnota y v bode, kde x = 0. Graf preto pretína os y vždy v bode [0; q], ktorý voláme y-ový priesečník. Ak q zmeníme, celá priamka sa posunie hore alebo dole, ale jej sklon zostane rovnaký.

4. Graf lineárnej funkcie je priamka — grafom každej lineárnej funkcie je vždy priamka v súradnicovej sústave. Na jej zostrojenie stačia dva body: vypočítame dve dvojice [x; y], vyznačíme ich a spojíme pravítkom. Práve pre túto jednoduchosť a priamkový tvar je lineárna funkcia základom pri kreslení a čítaní grafov.

5. Rastúca lineárna funkcia (k > 0) — ak je smernica kladná (k > 0), funkcia je rastúca: so zväčšujúcim sa x rastie aj y a priamka stúpa zľava doprava. Napríklad y = 2x + 1 je rastúca, lebo k = 2 > 0. Rastúce závislosti opisujú deje, kde s rastom jednej veličiny rastie aj druhá (napr. čím viac kíl tovaru, tým vyššia cena).

6. Klesajúca lineárna funkcia (k < 0) — ak je smernica záporná (k < 0), funkcia je klesajúca: so zväčšujúcim sa x sa y zmenšuje a priamka klesá zľava doprava. Napríklad y = −3x + 5 je klesajúca, lebo k = −3 < 0. Takto sa modelujú deje, kde rast jednej veličiny znamená pokles druhej (napr. ubúdanie zásob v čase).

7. Konštantná funkcia (k = 0) — ak je smernica nulová (k = 0), predpis sa zmení na y = q a funkcia je konštantná: pre každé x má y stále tú istú hodnotu. Jej grafom je vodorovná priamka rovnobežná s osou x. Konštantná funkcia je hraničný prípad, ktorý nie je ani rastúci, ani klesajúci.

8. Priama úmernosť ako špeciálny prípad — ak je q = 0, dostávame predpis y = k · x, čo je priama úmernosť. Jej grafom je priamka prechádzajúca začiatkom súradnicovej sústavy, teda bodom [0; 0]. Priama úmernosť je teda najjednoduchšou lineárnou funkciou a často sa s ňou stretávame pri prepočtoch (napr. rýchlosť, jednotková cena).

9. Priesečníky grafu s osami — priesečník s osou y nájdeme dosadením x = 0, čím dostaneme bod [0; q]. Priesečník s osou x (tzv. nulový bod) nájdeme dosadením y = 0 a vyriešením rovnice 0 = k · x + q, odkiaľ x = −q/k. Tieto dva body sa veľmi často používajú na rýchle a presné zostrojenie grafu.

10. Definičný obor a obor hodnôt — definičným oborom lineárnej funkcie (pri k ≠ 0) sú všetky reálne čísla, lebo za x môžeme dosadiť čokoľvek; oborom hodnôt sú takisto všetky reálne čísla. To znamená, že graf je neohraničená priamka, ktorá pokračuje donekonečna oboma smermi. Pri konštantnej funkcii (k = 0) je oborom hodnôt jediné číslo q.

11. Vyjadrenie závislosti veličín — lineárna funkcia opisuje vzťah dvoch veličín, kde sa jedna mení rovnomerne v závislosti od druhej. Premenná x býva nezávislá veličina (napr. čas, počet kusov) a y závislá veličina (napr. dráha, celková cena). Vďaka tomu vieme z predpisu predpovedať hodnotu y pre ľubovoľné x a naopak — to je praktická sila lineárnych funkcií.

12. Tabuľka hodnôt a dosadzovanie — pri práci s lineárnou funkciou si pomáhame tabuľkou, do ktorej za x dosadzujeme rôzne čísla a vypočítame zodpovedajúce y. Každá dvojica [x; y] z tabuľky zodpovedá jednému bodu grafu, takže tabuľka a graf hovoria o tej istej závislosti dvoma spôsobmi. Dosadzovanie do predpisu je zároveň základná metóda overenia, či daný bod leží na priamke.

1. Poučka

Lineárna funkcia je funkcia daná predpisom y = k · x + q, kde k a q sú reálne čísla a x je nezávislá premenná. Číslo k sa nazýva smernica (koeficient), číslo q je absolútny člen (posun na osi y). Grafom lineárnej funkcie je vždy priamka.

• Ak k > 0, funkcia je rastúca.
• Ak k < 0, funkcia je klesajúca.
• Ak k = 0, ide o konštantnú funkciu y = q (graf je vodorovná priamka).

2. Vysvetlenie

Predstav si lineárnu funkciu ako pravidlo: „za každé x dosadíš číslo a vypočítaš y".

Po krokoch: 1. Dosaď x do predpisu y = k · x + q. 2. Vypočítaj y — najprv k · x, potom pripočítaj q. 3. Dvojicu [x, y] zakresli ako bod do súradnicovej sústavy. 4. Stačia ti 2 body — nimi vedieš priamku (cez dva body prechádza práve jedna priamka). Tretí bod je dobrý na kontrolu.

Význam čísel: - q ti povie, kde priamka pretína os y (bod [0, q]). - k ti povie sklon: o koľko sa zmení y, keď x narastie o 1. Ak k = 2, každý krok doprava o 1 znamená posun nahor o 2.

3. Príklady a prečo je to dôležité

Príklad 1 — rastúca funkcia: y = 2x + 1. Pre x = 0 → y = 1; pre x = 3 → y = 7. Keďže k = 2 > 0, funkcia rastie.

Príklad 2 — klesajúca funkcia: y = −3x + 4. Pre x = 0 → y = 4; pre x = 2 → y = −2. Keďže k = −3 < 0, funkcia klesá.

Príklad 3 — priama úmernosť: y = 5x (tu q = 0). Graf prechádza počiatkom [0, 0]. Toto je špeciálny prípad lineárnej funkcie.

Príklad 4 — taxík (prax): Cena jazdy y = 0,80 · x + 2,50, kde x je počet kilometrov. Nástupné 2,50 € je člen q, cena 0,80 €/km je smernica k. Za 10 km zaplatíš y = 0,80 · 10 + 2,50 = 10,50 €.

Príklad 5 — nádrž s vodou (prax): V nádrži je 50 litrov a každú minútu pritečie 8 litrov: y = 8x + 50. Po 5 minútach: y = 8 · 5 + 50 = 90 litrov. Funkcia je rastúca.

Prečo je to dôležité: Lineárna funkcia opisuje všetko, čo sa mení rovnomerne — mzda podľa odpracovaných hodín, spotreba paliva podľa kilometrov, predĺženie pružiny podľa záťaže. Naučí ťa predvídať (koľko zaplatím za 20 km?) a čítať grafy, čo využiješ vo fyzike, ekonómii aj v bežnom rozhodovaní.