Lineárna funkcia Nezačaté

0. Kľúčové fakty

1. Lineárna funkcia — je funkcia daná predpisom y = k · x + q, kde k a q sú reálne čísla (konštanty) a x je premenná. Každému číslu x priraďuje práve jedno číslo y, pričom závislosť je „rovnomerná" — preto sa nazýva lineárna. Je to jeden z najdôležitejších typov funkcií, lebo opisuje množstvo bežných dejov, kde sa veličina mení stálym tempom.

2. Smernica k — koeficient k pri premennej x sa volá smernica (koeficient smeru) a určuje sklon grafu. Hovorí, o koľko sa zmení hodnota y, keď sa x zväčší o 1; čím väčšia je absolútna hodnota k, tým je priamka strmšia. Práve znamienko smernice rozhoduje o tom, či je funkcia rastúca alebo klesajúca.

3. Absolútny člen q — číslo q v predpise y = k · x + q udáva zvislý posun grafu a je to hodnota y v bode, kde x = 0. Graf preto pretína os y vždy v bode [0; q], ktorý voláme y-ový priesečník. Ak q zmeníme, celá priamka sa posunie hore alebo dole, ale jej sklon zostane rovnaký.

4. Graf lineárnej funkcie je priamka — grafom každej lineárnej funkcie je vždy priamka v súradnicovej sústave. Na jej zostrojenie stačia dva body: vypočítame dve dvojice [x; y], vyznačíme ich a spojíme pravítkom. Práve pre túto jednoduchosť a priamkový tvar je lineárna funkcia základom pri kreslení a čítaní grafov.

5. Rastúca lineárna funkcia (k > 0) — ak je smernica kladná (k > 0), funkcia je rastúca: so zväčšujúcim sa x rastie aj y a priamka stúpa zľava doprava. Napríklad y = 2x + 1 je rastúca, lebo k = 2 > 0. Rastúce závislosti opisujú deje, kde s rastom jednej veličiny rastie aj druhá (napr. čím viac kíl tovaru, tým vyššia cena).

6. Klesajúca lineárna funkcia (k < 0) — ak je smernica záporná (k < 0), funkcia je klesajúca: so zväčšujúcim sa x sa y zmenšuje a priamka klesá zľava doprava. Napríklad y = −3x + 5 je klesajúca, lebo k = −3 < 0. Takto sa modelujú deje, kde rast jednej veličiny znamená pokles druhej (napr. ubúdanie zásob v čase).

7. Konštantná funkcia (k = 0) — ak je smernica nulová (k = 0), predpis sa zmení na y = q a funkcia je konštantná: pre každé x má y stále tú istú hodnotu. Jej grafom je vodorovná priamka rovnobežná s osou x. Konštantná funkcia je hraničný prípad, ktorý nie je ani rastúci, ani klesajúci.

8. Priama úmernosť ako špeciálny prípad — ak je q = 0, dostávame predpis y = k · x, čo je priama úmernosť. Jej grafom je priamka prechádzajúca začiatkom súradnicovej sústavy, teda bodom [0; 0]. Priama úmernosť je teda najjednoduchšou lineárnou funkciou a často sa s ňou stretávame pri prepočtoch (napr. rýchlosť, jednotková cena).

9. Priesečníky grafu s osami — priesečník s osou y nájdeme dosadením x = 0, čím dostaneme bod [0; q]. Priesečník s osou x (tzv. nulový bod) nájdeme dosadením y = 0 a vyriešením rovnice 0 = k · x + q, odkiaľ x = −q/k. Tieto dva body sa veľmi často používajú na rýchle a presné zostrojenie grafu.

10. Definičný obor a obor hodnôt — definičným oborom lineárnej funkcie (pri k ≠ 0) sú všetky reálne čísla, lebo za x môžeme dosadiť čokoľvek; oborom hodnôt sú takisto všetky reálne čísla. To znamená, že graf je neohraničená priamka, ktorá pokračuje donekonečna oboma smermi. Pri konštantnej funkcii (k = 0) je oborom hodnôt jediné číslo q.

11. Vyjadrenie závislosti veličín — lineárna funkcia opisuje vzťah dvoch veličín, kde sa jedna mení rovnomerne v závislosti od druhej. Premenná x býva nezávislá veličina (napr. čas, počet kusov) a y závislá veličina (napr. dráha, celková cena). Vďaka tomu vieme z predpisu predpovedať hodnotu y pre ľubovoľné x a naopak — to je praktická sila lineárnych funkcií.

12. Tabuľka hodnôt a dosadzovanie — pri práci s lineárnou funkciou si pomáhame tabuľkou, do ktorej za x dosadzujeme rôzne čísla a vypočítame zodpovedajúce y. Každá dvojica [x; y] z tabuľky zodpovedá jednému bodu grafu, takže tabuľka a graf hovoria o tej istej závislosti dvoma spôsobmi. Dosadzovanie do predpisu je zároveň základná metóda overenia, či daný bod leží na priamke.

1. Poučka

Lineárna funkcia je funkcia daná predpisom y = k · x + q, kde k a q sú reálne čísla a x je nezávislá premenná. Číslo k sa nazýva smernica (koeficient), číslo q je absolútny člen (posun na osi y). Grafom lineárnej funkcie je vždy priamka.

• Ak k > 0, funkcia je rastúca.
• Ak k < 0, funkcia je klesajúca.
• Ak k = 0, ide o konštantnú funkciu y = q (graf je vodorovná priamka).

2. Vysvetlenie

Predstav si lineárnu funkciu ako pravidlo: „za každé x dosadíš číslo a vypočítaš y".

Po krokoch: 1. Dosaď x do predpisu y = k · x + q. 2. Vypočítaj y — najprv k · x, potom pripočítaj q. 3. Dvojicu [x, y] zakresli ako bod do súradnicovej sústavy. 4. Stačia ti 2 body — nimi vedieš priamku (cez dva body prechádza práve jedna priamka). Tretí bod je dobrý na kontrolu.

Význam čísel: - q ti povie, kde priamka pretína os y (bod [0, q]). - k ti povie sklon: o koľko sa zmení y, keď x narastie o 1. Ak k = 2, každý krok doprava o 1 znamená posun nahor o 2.

3. Príklady a prečo je to dôležité

Príklad 1 — hodnoty a rast funkcie: Pre funkciu y = 2x + 1 vypočítaj y pri x = 0 a x = 3. Je rastúca, alebo klesajúca?
x = 0: y = 2 · 0 + 1 = 1
x = 3: y = 2 · 3 + 1 = 7
Smernica k = 2 je kladná → funkcia je rastúca

Príklad 2 — graf z dvoch bodov: Zostroj graf funkcie y = −2x + 4.
Na priamku stačia dva body.
x = 0: y = −2 · 0 + 4 = 4 → bod [0; 4]
x = 2: y = −2 · 2 + 4 = 0 → bod [2; 0]
Body vyznačím v súradnicovej sústave a spojím priamkou. Smernica k = −2 je záporná → graf je klesajúca priamka cez body [0; 4] a [2; 0]

Príklad 3 — priesečníky s osami: Kde pretína graf funkcie y = 3x − 6 os y a kde os x?
Os y: dosadím x = 0 → y = 3 · 0 − 6 = −6 → bod [0; −6]
Os x: dosadím y = 0 → 3x − 6 = 0 → 3x = 6 → x = 2 → bod [2; 0]
Priesečníky: s osou y [0; −6], s osou x [2; 0]

Príklad 4 — rozpoznanie lineárnej funkcie: Ktoré z predpisov y = 4x − 1, y = x², y = −5 a y = 3 : x sú lineárne funkcie?
Lineárna funkcia má tvar y = kx + q (x je len v prvej mocnine a nie v menovateli).
y = 4x − 1 → áno (k = 4, q = −1)
y = x² → nie, x je v druhej mocnine
y = −5 → áno, je to konštantná funkcia (k = 0, q = −5)
y = 3 : x → nie, x je v menovateli
Lineárne funkcie sú prvý a tretí predpis

Príklad 5 — z praxe (taxík): Cena jazdy je y = 0,80x + 2,50, kde x je počet kilometrov. Koľko zaplatíš za 10 km a čo znamená číslo 2,50?
Dosadím x = 10: y = 0,80 · 10 + 2,50 = 8 + 2,50 = 10,50
Číslo 2,50 je q — nástupné, ktoré platíš aj za 0 km.
Za 10 km zaplatíš 10,50 €

Príklad 6 — z praxe (nádrž): V nádrži je 50 litrov vody a každú minútu pritečie 8 litrov. Koľko vody bude v nádrži po 5 minútach?
Predpis: y = 8x + 50 (x je počet minút)
Dosadím x = 5: y = 8 · 5 + 50 = 40 + 50 = 90 litrov

Prečo je to dôležité: Lineárna funkcia opisuje všetko, čo sa mení rovnomerne — mzda podľa odpracovaných hodín, spotreba paliva podľa kilometrov, predĺženie pružiny podľa záťaže. Naučí ťa predvídať (koľko zaplatím za 20 km?) a čítať grafy, čo využiješ vo fyzike, ekonómii aj v bežnom rozhodovaní.

Precvič si

1. Pre funkciu y = 4x − 3 vypočítaj y pri x = 0, x = 2 a x = −1.
2. Rozhodni, ktoré funkcie sú rastúce a ktoré klesajúce: y = −0,5x + 2; y = 3x; y = 7 − 2x.
3. Vypočítaj dva body grafu funkcie y = x + 2 (pre x = 0 a x = 2) a opíš, ako zostrojíš graf.
4. Urči priesečníky grafu funkcie y = −2x + 8 s osou y a s osou x.
5. Graf lineárnej funkcie prechádza bodmi [0; 3] a [2; 7]. Zapíš jej predpis.
6. Mobilný paušál stojí 5 € mesačne a 0,10 € za každú minútu hovoru. Zapíš predpis, vypočítaj cenu za 120 minút a zisti, koľko minút prevolal Tomáš, ak zaplatil 9,50 €.