Mocniny a odmocniny Nezačaté

0. Kľúčové fakty

1. Mocnina (definícia) — Mocnina je skrátený zápis opakovaného násobenia toho istého čísla. V zápise aⁿ je a základ (mocnenec) a n mocniteľ (exponent), pričom platí aⁿ = a·a·a·…·a (číslo a sa vynásobí samo sebou n-krát). Napríklad 2⁵ = 2·2·2·2·2 = 32. Tento zápis šetrí miesto a uľahčuje prácu s veľmi veľkými alebo veľmi malými hodnotami.

2. Druhá a tretia mocnina — Druhá mocnina a² (čítame „a na druhú") znamená a·a a geometricky vyjadruje obsah štvorca so stranou a. Tretia mocnina a³ („a na tretiu") znamená a·a·a a vyjadruje objem kocky s hranou a. Práve preto majú jednotky obsahu tvar cm², m² a jednotky objemu cm³, m³ — sú to mocniny dĺžkových jednotiek.

3. Mocnina s prirodzeným mocniteľom — Mocniteľ (exponent) hovorí, koľkokrát sa základ použije ako činiteľ. Pri prirodzenom mocniteli n ≥ 1 vždy násobíme aspoň raz. Mocnina s mocniteľom 1 sa rovná samotnému základu: a¹ = a. Rozlišovanie základu a mocniteľa je kľúčové, lebo 2³ = 8, ale 3² = 9 — poradie sa zameniť nedá.

4. Mocnina s mocniteľom 0 — Každé číslo okrem nuly umocnené na nultú sa rovná 1, teda a⁰ = 1 (pre a ≠ 0). Vyplýva to z pravidla pre delenie mocnín (aⁿ : aⁿ = a⁰ = 1). Je to dôležitý dohovor, ktorý udržiava všetky pravidlá počítania s mocninami konzistentné.

5. Znamienko základu a párnosť mocniteľa — Mocnina kladného čísla je vždy kladná. Pri zápornom základe rozhoduje párnosť mocniteľa: párny mocniteľ dáva kladný výsledok ((−2)² = 4), nepárny mocniteľ dáva záporný výsledok ((−2)³ = −8). Pozor na rozdiel medzi (−2)² = 4 a −2² = −4, kde sa umocňuje len číslo 2 a mínus zostáva pred ním.

6. Násobenie a delenie mocnín s rovnakým základom — Pri násobení mocnín s rovnakým základom sa mocnitele sčítajú: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (napr. 2³ · 2⁴ = 2⁷). Pri delení sa mocnitele odčítajú: aᵐ : aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (napr. 5⁶ : 5² = 5⁴). Tieto pravidlá výrazne urýchľujú výpočty a sú základom práce s mocninami v algebre.

7. Mocnina mocniny a mocnina súčinu — Mocninu mocniny vypočítame vynásobením mocniteľov: (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ (napr. (2³)² = 2⁶ = 64). Mocnina súčinu sa rovná súčinu mocnín: (a·b)ⁿ = aⁿ · bⁿ. Tieto vzťahy umožňujú upravovať a zjednodušovať zložitejšie výrazy.

8. Druhá odmocnina (definícia) — Druhá odmocnina z čísla a, zapísaná √a, je nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina dáva a. Platí teda: ak √a = b, potom b² = a (napr. √49 = 7, lebo 7² = 49). Odmocňovanie je opačná operácia k umocňovaniu na druhú — jedno „ruší" druhé.

9. Odmocnina iba z nezáporných čísel — Druhú odmocninu možno počítať len z čísla väčšieho alebo rovného nule, pretože druhá mocnina ľubovoľného reálneho čísla nemôže byť záporná. Výsledok odmocniny je vždy nezáporný. Preto √0 = 0 a √1 = 1, ale √(−9) v obore reálnych čísel neexistuje.

10. Druhé mocniny a odmocniny, ktoré treba poznať spamäti — Užitočné je vedieť naspamäť druhé mocniny čísel 1 až 15 (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225) a im zodpovedajúce odmocniny. Číslam, ktoré sú druhou mocninou prirodzeného čísla, hovoríme druhé mocniny (štvorce) a ich odmocnina vyjde „pekne". Pri ostatných číslach (napr. √2, √5) je odmocnina iracionálne číslo s nekonečným neperiodickým rozvojom a počítame ju približne pomocou kalkulačky.

11. Zápis veľkých čísel v tvare a·10ⁿ (vedecký zápis) — Veľmi veľké čísla zapisujeme v tvare a·10ⁿ, kde a je číslo od 1 do 10 (1 ≤ a < 10) a n je prirodzené číslo udávajúce počet desatinných miest posunu. Napríklad 3 000 000 = 3·10⁶ a 75 000 = 7,5·10⁴. Tento zápis sa používa vo fyzike, astronómii a technike, kde sa pracuje s obrovskými hodnotami (napr. vzdialenosti vo vesmíre).

12. Mocniny čísla 10 a desiatková sústava — Mocniny desiatky priamo zodpovedajú jednotkám našej desiatkovej sústavy: 10¹ = 10, 10² = 100, 10³ = 1000 atď. Mocniteľ pri desiatke sa rovná počtu núl za jednotkou. Práve táto vlastnosť robí zápis a·10ⁿ taký praktický — uľahčuje porovnávanie rádov čísel a prevody jednotiek (napr. 1 km = 10³ m).

1. Poučka

Mocnina je skrátený zápis opakovaného násobenia rovnakého čísla. V zápise aⁿ je a základ mocniny (mocnenec) a n mocniteľ (exponent), ktorý hovorí, koľkokrát sa základ vynásobí sám sebou: aⁿ = a · a · a · … · a (n činiteľov), pričom n je prirodzené číslo.

Druhá mocnina: a² = a · a. Tretia mocnina: a³ = a · a · a.

Druhá odmocnina √a je opačná operácia k druhej mocnine: √a = b práve vtedy, keď b² = a (pre a ≥ 0, b ≥ 0). Platí teda (√a)² = a a √(a²) = a.

Zápis veľkých čísel: každé veľké číslo sa dá napísať v tvare a · 10ⁿ, kde 1 ≤ a < 10 (a je desatinné číslo) a n je prirodzené číslo (počet posunutí desatinnej čiarky).

2. Vysvetlenie

Krok po kroku: - Mocnina = lenivý zápis násobenia. Namiesto 2 · 2 · 2 · 2 · 2 napíšeme 2⁵. Číslo dole (2) sa násobí, číslo hore (5) hovorí koľkokrát. - Pozor: 2⁵ NIE je 2 · 5 = 10, ale 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32. Exponent neznamená násobenie základom! - Odmocnina = hľadanie čísla, ktoré po umocnení dá daný výsledok. √49 = 7, lebo 7² = 49. Hľadáme „základ späť". - Veľké čísla: číslo 3 000 000 zapíšeme ako 3 · 10⁶. Stačí spočítať, o koľko miest by sme posunuli desatinnú čiarku. 10⁶ znamená číslo 1 a za ním 6 núl (milión).

3. Príklady a prečo je to dôležité

Príklad 1 — druhá a tretia mocnina: Vypočítaj 7² a 2³.
Exponent hovorí, koľkokrát násobíme základ sám sebou.
7² = 7 · 7 = 49 (pozor, nie 7 · 2)
2³ = 2 · 2 · 2 = 8
Výsledky: 7² = 49, 2³ = 8

Príklad 2 — vyšší exponent: Vypočítaj 2⁵ a 10⁶.
2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32
10⁶ je jednotka a za ňou 6 núl
Výsledky: 2⁵ = 32, 10⁶ = 1 000 000

Príklad 3 — druhá odmocnina: Vypočítaj √121 a √196.
Hľadám číslo, ktoré vynásobené samo sebou dá číslo pod odmocninou.
11 · 11 = 121
14 · 14 = 196
Výsledky: √121 = 11, √196 = 14

Príklad 4 — zápis v tvare a · 10ⁿ: Zapíš čísla 4 500 000 a 63 000 v tvare a · 10ⁿ, kde a je od 1 do 10.
4 500 000 = 4,5 · 1 000 000 a 1 000 000 = 10⁶
63 000 = 6,3 · 10 000 a 10 000 = 10⁴
Výsledky: 4 500 000 = 4,5 · 10⁶, 63 000 = 6,3 · 10⁴

Príklad 5 — z praxe (strana štvorca): Štvorcová izba má podlahu s obsahom 25 m². Aká dlhá je jedna stena?
Obsah štvorca je S = a · a = a², preto stranu nájdeme odmocninou: a = √S
a = √25 = 5, lebo 5 · 5 = 25
Stena je dlhá 5 m

Príklad 6 — kontrola zápisu: Platí √(7²) = 7? Platí 3² = 6?
√(7²) = √49 = 7 → odmocnina a druhá mocnina sa navzájom zrušia, zápis platí
Zápis 3² = 6 je chybný (počítal sa ako 3 · 2), správne je 3² = 3 · 3 = 9

Príklad 7 — z praxe (veľké čísla): Zem je od Slnka vzdialená približne 150 000 000 km. Zapíš to v tvare a · 10ⁿ.
150 000 000 = 1,5 · 100 000 000
100 000 000 má 8 núl, teda 10⁸
Vzdialenosť je približne 1,5 · 10⁸ km

Prečo je to dôležité: mocniny a odmocniny sú základom geometrie (obsahy, objemy, Pytagorova veta), fyziky (vzorce s druhými mocninami) aj informatiky (kilobajty, megabajty = mocniny). Zápis a · 10ⁿ umožňuje pohodlne pracovať s obrovskými číslami vo vede (počet hviezd, veľkosť baktérií) bez chýb pri počítaní núl.

Precvič si

1. Vypočítaj: 9² a 5³.
2. Vypočítaj: 3⁴ a 10⁵.
3. Vypočítaj: √49, √169 a √225.
4. Zapíš v tvare a · 10ⁿ: 8 000 000 a 250 000.
5. Vypočítaj: 2³ + 4² − √36.
6. Štvorcový záhon má obsah 1,44 m². Koľko metrov obrubníka treba okolo neho?