Obsah pravouhlého trojuholníka a jednotky obsahu Nezačaté

0. Kľúčové fakty

1. Pravouhlý trojuholník — je trojuholník, ktorý má jeden vnútorný uhol pravý (90°). Dve strany, ktoré zvierajú pravý uhol, sa nazývajú odvesny a sú na seba kolmé. Práve tieto dve odvesny sú kľúčové pri výpočte obsahu, lebo fungujú ako základňa a výška trojuholníka.

2. Obsah ako polovica obdĺžnika — každý pravouhlý trojuholník vznikne, keď obdĺžnik rozdelíme uhlopriečkou na dve zhodné (rovnaké) časti. Preto je obsah pravouhlého trojuholníka presne polovicou obsahu obdĺžnika, ktorý má rovnaké strany ako jeho odvesny. Toto je hlavná myšlienka celej témy a pomáha si vzorec ľahko zapamätať.

3. Vzorec S = (a · b) : 2 — obsah pravouhlého trojuholníka vypočítame tak, že vynásobíme dĺžky oboch odvesien a výsledok vydelíme dvoma (a a b sú odvesny). Napríklad pri odvesnách 6 cm a 4 cm je obsah (6 · 4) : 2 = 24 : 2 = 12 cm². Je dôležité do vzorca dosadzovať odvesny, nie preponu (najdlhšiu stranu).

4. Jednotka obsahu je vždy „štvorcová" — obsah meriame v štvorcových jednotkách (mm², cm², dm², m², km²), pretože vyjadruje, koľko jednotkových štvorčekov sa zmestí do plochy. Číslo má vždy hornú dvojku (²), čo znamená, že sme násobili dve dĺžky. Bez správnej jednotky je výsledok obsahu neúplný.

5. Prevodný vzťah medzi štvorcovými jednotkami je 100 — pri obsahu sa medzi susednými jednotkami neprevádza číslom 10, ale číslom 100. Platí 1 cm² = 100 mm², 1 dm² = 100 cm², 1 m² = 100 dm². Je to preto, lebo pri ploche sa stranový pomer 10 umocní na druhú (10 · 10 = 100).

6. Reťazec jednotiek obsahu — od najmenšej po najväčšiu idú: mm² → cm² → dm² → m² → a (ár) → ha (hektár) → km². Medzi každými dvoma susednými je vždy násobok 100. Tento prehľad pomáha rýchlo zistiť, ktorým smerom a koľkokrát treba prevádzať.

7. Ár a hektár (a, ha) — sú to jednotky obsahu používané hlavne pri pozemkoch a poliach. Platí 1 a = 100 m² (štvorec so stranou 10 m) a 1 ha = 100 a = 10 000 m² (štvorec so stranou 100 m). Hektár je veľmi názorný: je to plocha približne ako jedno veľké futbalové ihrisko.

8. Kilometer štvorcový (km²) — je najväčšia bežná jednotka obsahu a používa sa na meranie miest, štátov či veľkých území. Platí 1 km² = 100 ha = 1 000 000 m². Na takéto veľké plochy by boli menšie jednotky nepraktické, lebo by sme dostávali obrovské čísla.

9. Prevody pomocou desatinných čísel — pri premene z menšej jednotky na väčšiu delíme (číslo sa zmenšuje), pri premene z väčšej na menšiu násobíme (číslo sa zväčšuje). Napríklad 350 cm² = 3,5 dm² (delíme 100) a 2,4 m² = 240 dm² (násobíme 100). Posúvanie desatinnej čiarky o dve miesta robí tieto výpočty rýchlymi.

10. Obvod a obsah zložených obrazcov — útvary zložené zo štvorcov a obdĺžnikov rozdelíme na jednoduchšie časti, ktorým vypočítame obsah zvlášť, a potom ich spočítame (alebo od väčšieho odčítame chýbajúci kúsok). Obvod je súčet dĺžok všetkých strán po vonkajšom okraji obrazca. Pri zložených obrazcoch treba dávať pozor, aby všetky rozmery boli v rovnakej jednotke.

11. Rozdiel medzi obvodom a obsahom — obvod je dĺžka čiary okolo obrazca (meria sa v mm, cm, m, km) a obsah je veľkosť plochy vnútri (meria sa v mm², cm², m²). Sú to dve úplne rozdielne veličiny, ktoré sa často zamieňajú. Pri každej úlohe je preto dôležité prečítať, či sa pýta na obvod, alebo na obsah.

12. Pravý uhol a kolmosť odvesien — to, že odvesny zvierajú pravý uhol, je nevyhnutná podmienka, aby jedna odvesna mohla byť priamo výškou na druhú. Vďaka tomu nemusíme výšku zložito hľadať ako pri všeobecnom trojuholníku, ale použijeme priamo dĺžky odvesien. To robí výpočet obsahu pravouhlého trojuholníka jednoduchším ako pri iných trojuholníkoch.

1. Poučka

Obsah pravouhlého trojuholníka sa rovná polovici obsahu obdĺžnika, ktorý má rovnaké strany ako sú odvesny trojuholníka. Ak sú odvesny (dve strany, ktoré zvierajú pravý uhol) označené a a b, platí:

S = (a · b) : 2

Obsah sa vždy uvádza v jednotkách obsahu: mm², cm², dm², m², a (ár), ha (hektár), km².

Základné premeny: 1 cm² = 100 mm², 1 dm² = 100 cm², 1 m² = 100 dm², 1 a = 100 m², 1 ha = 100 a = 10 000 m², 1 km² = 100 ha = 1 000 000 m².

2. Vysvetlenie

Predstav si obdĺžnik so stranami a a b. Keď ho prerežeš po uhlopriečke, vzniknú dva úplne rovnaké pravouhlé trojuholníky. Preto má jeden trojuholník presne polovicu obsahu obdĺžnika.

Postup výpočtu po krokoch: 1. Nájdi obe odvesny a a b (strany pri pravom uhle). Prepona sa do vzorca nepoužíva. 2. Vynásob ich: a · b (to je obsah celého obdĺžnika). 3. Výsledok vydeľ dvomi: (a · b) : 2. 4. K výsledku napíš správnu jednotku obsahu (²).

Pri premene jednotiek si pamätaj, že susedné jednotky obsahu sa líšia 100-krát (nie 10-krát ako pri dĺžke). Výnimka je km² ↔ ha (100-krát) a m² ↔ a (100-krát). Pri premene na väčšiu jednotku posúvame desatinnú čiarku doľava, na menšiu doprava.

3. Príklady a prečo je to dôležité

Príklad 1 — obsah z odvesien: Pravouhlý trojuholník má odvesny a = 6 cm a b = 4 cm. Aký má obsah?
Pravouhlý trojuholník je polovica obdĺžnika so stranami 6 cm a 4 cm.
Obsah obdĺžnika: 6 · 4 = 24 cm²
Obsah trojuholníka je polovica: S = 24 : 2 = 12 cm²

Príklad 2 — s desatinným číslom: Odvesny sú a = 5 cm a b = 3,2 cm. Vypočítaj obsah.
S = (a · b) : 2
5 · 3,2 = 16
S = 16 : 2 = 8 cm²

Príklad 3 — premena jednotiek: Premeň 3 ha na m², 450 cm² na dm² a 5 km² na ha.
1 ha = 100 a = 10 000 m² → 3 ha = 3 · 10 000 = 30 000 m²
1 dm² = 100 cm² → 450 cm² = 450 : 100 = 4,5 dm²
1 km² = 100 ha → 5 km² = 5 · 100 = 500 ha
Výsledky: 30 000 m², 4,5 dm², 500 ha

Príklad 4 — zložený obrazec: K dlhšej strane obdĺžnika 8 m × 3 m je celou stranou prilepený štvorec so stranou 3 m. Vypočítaj obsah a obvod obrazca.
Obsah: sčítam obsahy častí: 8 · 3 + 3 · 3 = 24 + 9 = 33 m²
Obvod obdĺžnika: 2 · (8 + 3) = 22 m, obvod štvorca: 4 · 3 = 12 m
Spoločná strana 3 m je vo vnútri obrazca, nie na okraji. Bola v oboch obvodoch, preto ju odčítam dvakrát: 22 + 12 − 2 · 3 = 28 m
Výsledok: S = 33 m², o = 28 m

Príklad 5 — dopočítanie odvesny: Pravouhlý trojuholník má obsah 24 cm² a odvesnu a = 8 cm. Aká dlhá je druhá odvesna?
Platí S = (a · b) : 2, teda a · b = 2 · S = 2 · 24 = 48
b = 48 : 8 = 6 cm

Príklad 6 — z praxe (záhradka): Trojuholníková záhradka pri plote má tvar pravouhlého trojuholníka s odvesnami 10 m a 7 m. Koľko m² trávnika treba zasiať?
10 · 7 = 70
S = 70 : 2 = 35 m²

Prečo je to dôležité: Obsah počítame, keď chceme vedieť, koľko dlaždíc, farby, trávneho semena, koberca alebo látky potrebujeme. Jednotky obsahu používajú stavbári, záhradníci aj geodeti (výmery pozemkov sa udávajú v aroch a hektároch). Bez správnej premeny by si si kúpil úplne nesprávne množstvo materiálu.

Precvič si

1. Vypočítaj obsah pravouhlého trojuholníka s odvesnami 8 cm a 5 cm.
2. Premeň: 4 m² na dm² a 2,5 ha na a.
3. Premeň: 6 500 m² na ha a 35 000 cm² na m².
4. Vypočítaj obsah pravouhlého trojuholníka s odvesnami 7,5 cm a 4 cm.
5. K dlhšej strane obdĺžnika 10 m × 5 m je celou stranou prilepený štvorec so stranou 5 m. Vypočítaj obsah a obvod obrazca.
6. Pravouhlý trojuholník má obsah 42 cm² a jednu odvesnu 12 cm. Aká dlhá je druhá odvesna?