Obvod a obsah obdĺžnika a štvorca Nezačaté

0. Kľúčové fakty

1. Obvod (o) — obvod je dĺžka celej čiary, ktorá ohraničuje rovinný útvar, teda súčet dĺžok všetkých jeho strán. Predstav si, že okolo pozemku staviaš plot — jeho celková dĺžka je práve obvod. Obvod sa meria v jednotkách dĺžky (mm, cm, dm, m, km), pretože ide o jednorozmernú veličinu.

2. Obsah (S) — obsah je veľkosť plochy, ktorú útvar zaberá vnútri svojho obvodu. Predstav si, koľko dlaždíc alebo koľko metrov koberca potrebuješ na pokrytie podlahy — to je obsah. Obsah sa meria v štvorcových (plošných) jednotkách, lebo ide o dvojrozmernú veličinu.

3. Obdĺžnik — obdĺžnik je štvoruholník, ktorý má všetky štyri uhly pravé (90°) a protiľahlé strany rovnako dlhé. Susedné strany označujeme ako dĺžku (a) a šírku (b). Práve preto, že protiľahlé strany sú zhodné, stačí poznať len dva rozmery a a b.

4. Štvorec — štvorec je zvláštny prípad obdĺžnika, ktorý má všetky štyri strany rovnako dlhé a všetky uhly pravé. Jeho jedinú stranu označujeme písmenom a. Štvorec je teda najsymetrickejší štvoruholník a vzorce preňho sú jednoduchšie, lebo pracujeme len s jedným rozmerom.

5. Obvod obdĺžnika: o = 2 · (a + b) — obvod obdĺžnika vypočítaš tak, že sčítaš dĺžku a šírku a výsledok vynásobíš dvomi, lebo obdĺžnik má dve dvojice rovnakých strán. Rovnako platí aj zápis o = a + a + b + b. Napríklad pri a = 5 cm a b = 3 cm je o = 2 · (5 + 3) = 16 cm.

6. Obsah obdĺžnika: S = a · b — obsah obdĺžnika dostaneš vynásobením jeho dvoch susedných strán. Vzorec vychádza z toho, že plochu si vieš rozdeliť na riadky a stĺpce jednotkových štvorčekov: a štvorčekov v riadku a b riadkov. Napríklad pri a = 5 cm a b = 3 cm je S = 5 · 3 = 15 cm².

7. Obvod štvorca: o = 4 · a — keďže štvorec má všetky štyri strany rovnaké, jeho obvod je strana vynásobená štyrmi. Je to len zjednodušený prípad vzorca pre obdĺžnik, kde a = b. Napríklad pri a = 6 cm je o = 4 · 6 = 24 cm.

8. Obsah štvorca: S = a · a = a² — obsah štvorca vypočítaš tak, že stranu vynásobíš samú sebou, čo zapisujeme aj ako druhú mocninu a². Tento výpočet je dôvodom, prečo sa plošným jednotkám hovorí „štvorcové" — vychádzajú zo štvorca so stranou jednej jednotky. Napríklad pri a = 6 cm je S = 6² = 36 cm².

9. Jednotky obsahu — základné plošné jednotky sú mm², cm², dm², m² a km², pričom väčšie plochy (polia, pozemky) sa udávajú v ároch (a) a hektároch (ha). Platí, že 1 cm² je štvorec so stranou 1 cm, takže rozmer útvaru a jeho obsah musia byť vždy v zhodných jednotkách. Bez správnych jednotiek je výsledok len číslo bez významu.

10. Premena jednotiek obsahu (násobok 100) — pri premene susedných plošných jednotiek násobíš alebo delíš číslom 100, nie 10 ako pri dĺžke. Je to preto, že pri zmene dĺžkovej jednotky sa zmení aj dĺžka, aj šírka štvorca, teda 10 · 10 = 100. Platí: 1 dm² = 100 cm², 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm², 1 a = 100 m², 1 ha = 100 a = 10 000 m².

11. Rovnaký obvod ≠ rovnaký obsah — dva útvary môžu mať rovnaký obvod, ale úplne odlišný obsah, a naopak. Napríklad obdĺžnik 1 cm × 5 cm a obdĺžnik 2 cm × 4 cm majú rovnaký obvod 12 cm, no ich obsahy sú 5 cm² a 8 cm². Pri rovnakom obvode má najväčší obsah práve štvorec, čo je dôležité napríklad pri navrhovaní pozemkov.

12. Praktické využitie — výpočet obvodu používaš pri obkladaní okrajov: plot okolo záhrady, lišta okolo obrazu, lemovka okolo obrusu. Výpočet obsahu používaš pri pokrývaní plôch: maľovanie steny, kladenie dlažby, kúpa koberca či trávnika. Práve preto je dôležité rozlišovať, kedy počítaš obvod (dĺžku okraja) a kedy obsah (veľkosť plochy).

1. Poučka

Obvod je dĺžka čiary po okraji obrazca (súčet dĺžok všetkých strán). Značíme ho o, jednotky sú dĺžkové (mm, cm, dm, m). Obsah je veľkosť plochy vo vnútri obrazca. Značíme ho S, jednotky sú plošné (mm², cm², dm², m²).

Obdĺžnik má strany a a b: - obvod: o = 2 · (a + b) - obsah: S = a · b

Štvorec má všetky strany rovnaké, dĺžku a: - obvod: o = 4 · a - obsah: S = a · a = a²

2. Vysvetlenie

1. Obvod si predstav ako plot okolo záhrady — koľko metrov plotu kúpiš. Sčítaš dĺžky všetkých strán. Obdĺžnik má dve strany dlhé a a dve dlhé b, preto o = a + b + a + b = 2 · (a + b).
2. Obsah si predstav ako trávnik, ktorý treba pokosiť — koľko štvorčekov 1 cm × 1 cm sa zmestí dovnútra. Pri obdĺžniku vynásobíš dĺžku šírkou: S = a · b.
3. Štvorec je špeciálny obdĺžnik — všetky štyri strany sú rovnako dlhé. Preto stačí jedna dĺžka a: obvod je 4 · a a obsah je a · a.
4. Pozor na jednotky: obvod je v cm, m... ale obsah vždy v „štvorcových" jednotkách (cm², m²), lebo násobíš dĺžku × dĺžku.

3. Príklady a prečo je to dôležité

Príklad 1 — obvod a obsah obdĺžnika: Obdĺžnik má strany a = 8 cm a b = 5 cm. Vypočítaj jeho obvod a obsah.
Obvod: o = 2 · (a + b) = 2 · (8 + 5) = 2 · 13 = 26 cm
Obsah: S = a · b = 8 · 5 = 40 cm²
Výsledok: o = 26 cm, S = 40 cm²

Príklad 2 — obvod a obsah štvorca: Štvorec má stranu a = 6 cm. Vypočítaj jeho obvod a obsah.
Obvod: o = 4 · a = 4 · 6 = 24 cm
Obsah: S = a · a = 6 · 6 = 36 cm²
Výsledok: o = 24 cm, S = 36 cm²

Príklad 3 — premena plošných jednotiek: Premeň 2 m² na dm² a 450 cm² na dm².
Pri plošných jednotkách je prevodné číslo 100 (1 m = 10 dm, preto 1 m² = 10 · 10 = 100 dm²).
Z m² na dm² ideme na menšiu jednotku, násobíme: 2 · 100 = 200 dm²
Z cm² na dm² ideme na väčšiu jednotku, delíme: 450 : 100 = 4,5 dm²
Výsledok: 2 m² = 200 dm² a 450 cm² = 4,5 dm²

Príklad 4 — strana a obsah štvorca z obvodu: Obvod štvorca je 20 cm. Akú dĺžku má strana a aký je obsah?
Štvorec má 4 rovnaké strany: a = 20 : 4 = 5 cm
Obsah: S = 5 · 5 = 25 cm²
Výsledok: a = 5 cm, S = 25 cm²

Príklad 5 — z praxe, plot okolo záhrady: Záhrada má tvar obdĺžnika 20 m × 15 m. Koľko metrov pletiva treba na oplotenie?
Pletivo ide po okraji, hľadáme obvod.
o = 2 · (20 + 15) = 2 · 35 = 70 m
Výsledok → treba 70 m pletiva

Príklad 6 — z praxe, podlaha a lišty: Izba má rozmery 4 m × 3 m. Koľko m² dlažby treba na podlahu a koľko metrov líšt okolo stien?
Dlažba pokrýva plochu, hľadáme obsah: S = 4 · 3 = 12 m²
Lišty idú po okraji, hľadáme obvod: o = 2 · (4 + 3) = 14 m
Výsledok → dlažba 12 m², lišty 14 m

Prečo je to dôležité: obvod a obsah používaš v bežnom živote stále — koľko plotu, koberca, farby, trávy či dlaždíc potrebuješ a koľko to bude stáť. Kto to vie počítať, neminie zbytočne peniaze a vie si naplánovať prácu doma aj v práci (stolár, murár, záhradník, dizajnér).

Precvič si

1. Obdĺžnik má strany 7 cm a 3 cm. Vypočítaj jeho obvod a obsah.
2. Štvorec má stranu 9 cm. Vypočítaj jeho obvod a obsah.
3. Premeň: 5 dm² = ? cm² a 4 000 cm² = ? m².
4. Obdĺžnik má obsah 48 cm² a jednu stranu 8 cm. Aká dlhá je druhá strana a aký je obvod?
5. Obvod štvorca je 28 cm. Aký je jeho obsah?
6. Záhrada má rozmery 12 m × 8 m. Meter pletiva stojí 3 €. Koľko eur zaplatíme za pletivo okolo celej záhrady?