Osová a stredová súmernosť Nezačaté

0. Kľúčové fakty

1. Osová súmernosť — Je to zhodné zobrazenie, pri ktorom má každý bod svoj obraz na opačnej strane priamky (osi) v rovnakej kolmej vzdialenosti. Útvar a jeho obraz sú zrkadlovým odrazom — ako keď sa pozeráš do zrkadla. Tvar a veľkosť útvaru sa nemenia, mení sa len jeho poloha (a stranová orientácia).

2. Os súmernosti — Priamka, podľa ktorej zrkadlíme útvar; rozdeľuje osovo súmerný útvar na dve zhodné, presne sa prekrývajúce časti. Ak útvar preložíš (prehneš) presne po osi, obe polovice sa kryjú. Útvar môže mať jednu, viac, alebo aj nekonečne veľa osí súmernosti.

3. Vlastnosti osovej súmernosti — Spojnica každého bodu a jeho obrazu je kolmá na os a os ju rozpoľuje (delí na dve rovnaké časti). Body ležiace priamo na osi sa nezobrazujú nikam inam — sú svojimi vlastnými obrazmi (samodružné body). Vzdialenosti aj uhly zostávajú zachované, preto je to zhodné zobrazenie.

4. Stredová súmernosť — Zhodné zobrazenie, pri ktorom má každý bod obraz na opačnej strane jedného pevného bodu (stredu) v rovnakej vzdialenosti. Výsledok vyzerá, akoby si útvar otočil o 180° okolo stredu. Na rozdiel od osovej súmernosti tu útvar nie je „prevrátený" ako v zrkadle, ale otočený „hore nohami".

5. Stred súmernosti — Pevný bod, okolo ktorého útvar otáčame o 180°; leží presne v strede spojnice každého bodu a jeho obrazu. Tento bod je samodružný — zobrazuje sa sám na seba a nikdy sa nepohne. Napríklad stredom súmernosti štvorca či kruhu je jeho stred.

6. Vlastnosti stredovej súmernosti — Bod, jeho obraz a stred súmernosti vždy ležia na jednej priamke, pričom stred je v polovici medzi nimi. Vzdialenosť bodu od stredu sa rovná vzdialenosti obrazu od stredu. Úsečky v obraze sú rovnobežné s pôvodnými úsečkami, ale majú opačný smer.

7. Rozdiel medzi osovou a stredovou súmernosťou — Pri osovej súmernosti zrkadlíme podľa priamky (os) a vzniká zrkadlový obraz; pri stredovej otáčame o 180° okolo bodu (stred). Osovo súmerné útvary majú zhodnú „prehnuteľnú" polovicu, stredovo súmerné vyzerajú rovnako, keď ich otočíš o pol kruhu. Niektoré útvary majú obe súmernosti (napr. štvorec, obdĺžnik, kruh).

8. Konštrukcia obrazu v osovej súmernosti — Z každého vrcholu útvaru vedieme kolmicu na os, odmeriame vzdialenosť bodu od osi a tú istú vzdialenosť nanesieme na opačnú stranu osi. Tak získame obrazy všetkých vrcholov, ktoré spojíme do obrazu útvaru. Používame pri tom pravítko, trojuholník s ryskou a kružidlo.

9. Konštrukcia obrazu v stredovej súmernosti — Každý vrchol útvaru spojíme priamkou so stredom súmernosti a túto vzdialenosť predĺžime na opačnú stranu o rovnakú dĺžku. Získané body sú obrazy vrcholov a po spojení vznikne obraz celého útvaru otočený o 180°. Kontrolou správnosti je, že stred leží presne v polovici medzi vrcholom a jeho obrazom.

10. Osovo súmerné útvary v praxi — Mnoho útvarov a vecí okolo nás je osovo súmerných: rovnoramenný trojuholník (1 os), obdĺžnik (2 osi), štvorec (4 osi), kruh (nekonečne veľa osí), motýľ, ľudská tvár či písmená A, M, T. Rozpoznanie osí pomáha pochopiť pravidelnosť a krásu tvarov v prírode aj v umení.

11. Stredovo súmerné útvary v praxi — Stredovú súmernosť má napríklad kruh, štvorec, obdĺžnik, kosoštvorec, pravidelný šesťuholník či písmená S, N, Z a hracia karta. Takýto útvar vyzerá rovnako, aj keď ho otočíš o 180°. Tieto vlastnosti sa využívajú v dizajne, logách, dlažbe a vzoroch.

12. Zhodné zobrazenie a zachovanie vlastností — Osová aj stredová súmernosť patria medzi zhodné zobrazenia, čo znamená, že obraz má vždy rovnakú veľkosť a tvar ako pôvodný útvar — menia sa len poloha a orientácia. Zachovávajú sa dĺžky úsečiek, veľkosti uhlov aj obsah útvaru. Práve preto sú dôležitým základom geometrie a neskôr ich využiješ pri otáčaní, posúvaní a ďalších zobrazeniach.

1. Poučka

Osová súmernosť je zhodné zobrazenie podľa priamky (osi súmernosti). Každý bod sa zobrazí na druhú stranu osi do rovnakej vzdialenosti, pričom os je kolmá na spojnicu bodu a jeho obrazu a prechádza jej stredom. Útvar je osovo súmerný, ak ho os rozdelí na dve zhodné, zrkadlovo otočené časti.

Stredová súmernosť je zhodné zobrazenie podľa bodu (stredu súmernosti S). Každý bod sa zobrazí tak, že stred S je stredom úsečky medzi bodom a jeho obrazom. Útvar je stredovo súmerný, ak sa pri otočení o 180° okolo stredu S zobrazí sám na seba.

2. Vysvetlenie

Predstav si osovú súmernosť ako zrkadlo: 1. Os súmernosti je čiara, kde stojí zrkadlo. 2. Z bodu A vedieme kolmicu na os. 3. Obraz A' leží na tejto kolmici na druhej strane, rovnako ďaleko od osi ako bod A. 4. Os je vždy kolmá na úsečku AA' a prechádza jej stredom.

Predstav si stredovú súmernosť ako otočenie o pol kruhu (180°): 1. Vyznačíme stred súmernosti S. 2. Z bodu A vedieme priamku cez stred S. 3. Obraz A' leží na druhej strane od S, rovnako ďaleko ako bod A (S je stred úsečky AA'). 4. Celý útvar vyzerá ako otočený „hore nohami".

3. Príklady a prečo je to dôležité

Príklad 1 — obraz bodu v osovej súmernosti: Bod A leží 2 cm od osi o. Zostroj jeho obraz A'.
Z bodu A narysujem kolmicu na os o, priesečník s osou označím P.
Vzdialenosť |AP| je 2 cm.
Na kolmici nanesiem za osou rovnakú vzdialenosť: |PA'| = |AP| = 2 cm
Obraz → bod A' leží na kolmici k osi, 2 cm na druhej strane osi

Príklad 2 — obraz úsečky v osovej súmernosti: Zostroj obraz úsečky AB podľa osi o.
Zostrojím obraz bodu A (kolmica na os, rovnaká vzdialenosť za osou) → A'
Rovnako zostrojím obraz bodu B → B'
Body A' a B' spojím. Osová súmernosť nemení dĺžky, preto |A'B'| = |AB|
Obraz → úsečka A'B' rovnako dlhá ako AB, zrkadlovo otočená

Príklad 3 — obraz bodu v stredovej súmernosti: Zostroj obraz bodu A podľa stredu S.
Narysujem polpriamku AS a predĺžim ju za bod S.
Odmeriam |AS|, napríklad 3 cm, a nanesiem ju za S: |SA'| = |AS| = 3 cm
Obraz → A' leží na priamke AS za stredom S a S je stredom úsečky AA'

Príklad 4 — obraz trojuholníka v stredovej súmernosti: Zostroj obraz trojuholníka ABC podľa stredu S.
Každý vrchol zobrazím ako v príklade 3 → A', B', C'
Body A', B', C' spojím.
Obraz → trojuholník A'B'C' je zhodný s ABC, len otočený o 180°

Príklad 5 — počet osí súmernosti: Koľko osí súmernosti má štvorec, rovnoramenný trojuholník a kosoštvorec?
Štvorec: 2 osi cez stredy protiľahlých strán a 2 osi v uhlopriečkach → 4
Rovnoramenný trojuholník: 1 os cez hlavný vrchol a stred základne → 1
Kosoštvorec: osi sú jeho 2 uhlopriečky → 2
Výsledok → štvorec 4, rovnoramenný trojuholník 1, kosoštvorec 2

Príklad 6 — súmerné písmená: Ktoré z písmen A, S, X sú osovo súmerné a ktoré stredovo súmerné?
A: má zvislú os, po otočení o 180° vyzerá inak → len osovo
S: os nemá, po otočení o 180° vyzerá rovnako → len stredovo
X: má zvislú aj vodorovnú os a aj po otočení vyzerá rovnako → oboje
Výsledok → A osovo, S stredovo, X osovo aj stredovo

Príklad 7 — nájdenie stredu súmernosti: Bod A' je obrazom bodu A v stredovej súmernosti. Nájdi stred S.
Stred súmernosti leží v strede úsečky AA'.
Spojím body A a A' a odmeriam úsečku, napríklad 6 cm.
Polovica: 6 : 2 = 3 cm
Stred → S leží na úsečke AA', 3 cm od bodu A (v jej strede)

Prečo je to dôležité: Súmernosť nám pomáha rozpoznávať a vytvárať vyvážené tvary v umení, architektúre a dizajne. Inžinieri ju využívajú pri stavbe mostov a budov, aby boli pevné a stabilné. V prírode sa súmernosť objavuje všade — od kvetov po telá živočíchov. Pochopenie súmernosti rozvíja priestorovú predstavivosť, ktorú potrebuješ v geometrii aj v bežnom živote.

Precvič si

1. Koľko osí súmernosti má obdĺžnik a koľko štvorec?
2. Ktoré z písmen M, Z, O sú osovo súmerné a ktoré stredovo súmerné?
3. Bod A je 4 cm od osi o. Ako ďaleko je bod A od svojho obrazu A' v osovej súmernosti podľa osi o?
4. Bod A' je obrazom bodu A v stredovej súmernosti so stredom S a |AS| = 2,5 cm. Aká dlhá je úsečka AA'?
5. Má rovnoramenný lichobežník os súmernosti? Je stredovo súmerný?
6. Zostroj obraz štvorca ABCD so stranou 3 cm v stredovej súmernosti so stredom vo vrchole C. Ktorý bod sa zobrazí sám na seba?