Osová a stredová súmernosť Nezačaté

0. Kľúčové fakty

1. Osová súmernosť — Je to zhodné zobrazenie, pri ktorom má každý bod svoj obraz na opačnej strane priamky (osi) v rovnakej kolmej vzdialenosti. Útvar a jeho obraz sú zrkadlovým odrazom — ako keď sa pozeráš do zrkadla. Tvar a veľkosť útvaru sa nemenia, mení sa len jeho poloha (a stranová orientácia).

2. Os súmernosti — Priamka, podľa ktorej zrkadlíme útvar; rozdeľuje osovo súmerný útvar na dve zhodné, presne sa prekrývajúce časti. Ak útvar preložíš (prehneš) presne po osi, obe polovice sa kryjú. Útvar môže mať jednu, viac, alebo aj nekonečne veľa osí súmernosti.

3. Vlastnosti osovej súmernosti — Spojnica každého bodu a jeho obrazu je kolmá na os a os ju rozpoľuje (delí na dve rovnaké časti). Body ležiace priamo na osi sa nezobrazujú nikam inam — sú svojimi vlastnými obrazmi (samodružné body). Vzdialenosti aj uhly zostávajú zachované, preto je to zhodné zobrazenie.

4. Stredová súmernosť — Zhodné zobrazenie, pri ktorom má každý bod obraz na opačnej strane jedného pevného bodu (stredu) v rovnakej vzdialenosti. Výsledok vyzerá, akoby si útvar otočil o 180° okolo stredu. Na rozdiel od osovej súmernosti tu útvar nie je „prevrátený" ako v zrkadle, ale otočený „hore nohami".

5. Stred súmernosti — Pevný bod, okolo ktorého útvar otáčame o 180°; leží presne v strede spojnice každého bodu a jeho obrazu. Tento bod je samodružný — zobrazuje sa sám na seba a nikdy sa nepohne. Napríklad stredom súmernosti štvorca či kruhu je jeho stred.

6. Vlastnosti stredovej súmernosti — Bod, jeho obraz a stred súmernosti vždy ležia na jednej priamke, pričom stred je v polovici medzi nimi. Vzdialenosť bodu od stredu sa rovná vzdialenosti obrazu od stredu. Úsečky v obraze sú rovnobežné s pôvodnými úsečkami, ale majú opačný smer.

7. Rozdiel medzi osovou a stredovou súmernosťou — Pri osovej súmernosti zrkadlíme podľa priamky (os) a vzniká zrkadlový obraz; pri stredovej otáčame o 180° okolo bodu (stred). Osovo súmerné útvary majú zhodnú „prehnuteľnú" polovicu, stredovo súmerné vyzerajú rovnako, keď ich otočíš o pol kruhu. Niektoré útvary majú obe súmernosti (napr. štvorec, obdĺžnik, kruh).

8. Konštrukcia obrazu v osovej súmernosti — Z každého vrcholu útvaru vedieme kolmicu na os, odmeriame vzdialenosť bodu od osi a tú istú vzdialenosť nanesieme na opačnú stranu osi. Tak získame obrazy všetkých vrcholov, ktoré spojíme do obrazu útvaru. Používame pri tom pravítko, trojuholník s ryskou a kružidlo.

9. Konštrukcia obrazu v stredovej súmernosti — Každý vrchol útvaru spojíme priamkou so stredom súmernosti a túto vzdialenosť predĺžime na opačnú stranu o rovnakú dĺžku. Získané body sú obrazy vrcholov a po spojení vznikne obraz celého útvaru otočený o 180°. Kontrolou správnosti je, že stred leží presne v polovici medzi vrcholom a jeho obrazom.

10. Osovo súmerné útvary v praxi — Mnoho útvarov a vecí okolo nás je osovo súmerných: rovnoramenný trojuholník (1 os), obdĺžnik (2 osi), štvorec (4 osi), kruh (nekonečne veľa osí), motýľ, ľudská tvár či písmená A, M, T. Rozpoznanie osí pomáha pochopiť pravidelnosť a krásu tvarov v prírode aj v umení.

11. Stredovo súmerné útvary v praxi — Stredovú súmernosť má napríklad kruh, štvorec, obdĺžnik, kosoštvorec, pravidelný šesťuholník či písmená S, N, Z a hracia karta. Takýto útvar vyzerá rovnako, aj keď ho otočíš o 180°. Tieto vlastnosti sa využívajú v dizajne, logách, dlažbe a vzoroch.

12. Zhodné zobrazenie a zachovanie vlastností — Osová aj stredová súmernosť patria medzi zhodné zobrazenia, čo znamená, že obraz má vždy rovnakú veľkosť a tvar ako pôvodný útvar — menia sa len poloha a orientácia. Zachovávajú sa dĺžky úsečiek, veľkosti uhlov aj obsah útvaru. Práve preto sú dôležitým základom geometrie a neskôr ich využiješ pri otáčaní, posúvaní a ďalších zobrazeniach.

1. Poučka

Osová súmernosť je zhodné zobrazenie podľa priamky (osi súmernosti). Každý bod sa zobrazí na druhú stranu osi do rovnakej vzdialenosti, pričom os je kolmá na spojnicu bodu a jeho obrazu a prechádza jej stredom. Útvar je osovo súmerný, ak ho os rozdelí na dve zhodné, zrkadlovo otočené časti.

Stredová súmernosť je zhodné zobrazenie podľa bodu (stredu súmernosti S). Každý bod sa zobrazí tak, že stred S je stredom úsečky medzi bodom a jeho obrazom. Útvar je stredovo súmerný, ak sa pri otočení o 180° okolo stredu S zobrazí sám na seba.

2. Vysvetlenie

Predstav si osovú súmernosť ako zrkadlo: 1. Os súmernosti je čiara, kde stojí zrkadlo. 2. Z bodu A vedieme kolmicu na os. 3. Obraz A' leží na tejto kolmici na druhej strane, rovnako ďaleko od osi ako bod A. 4. Os je vždy kolmá na úsečku AA' a prechádza jej stredom.

Predstav si stredovú súmernosť ako otočenie o pol kruhu (180°): 1. Vyznačíme stred súmernosti S. 2. Z bodu A vedieme priamku cez stred S. 3. Obraz A' leží na druhej strane od S, rovnako ďaleko ako bod A (S je stred úsečky AA'). 4. Celý útvar vyzerá ako otočený „hore nohami".

3. Príklady a prečo je to dôležité

1. Písmeno A je osovo súmerné — má zvislú os súmernosti. Písmeno S je stredovo súmerné — po otočení o 180° vyzerá rovnako.
2. Motýľ má jednu os súmernosti — ľavé a pravé krídlo sú zrkadlové.
3. Štvorec má 4 osi súmernosti a je aj stredovo súmerný (stred = priesečník uhlopriečok).
4. Hracia karta (napr. srdcové eso) je stredovo súmerná — preto vyzerá rovnako, aj keď ju otočíš.
5. Snehová vločka má viacero osí súmernosti.
6. Logá firiem a dopravné značky často využívajú súmernosť, aby pôsobili vyvážene a boli ľahko rozpoznateľné.

Prečo je to dôležité: Súmernosť nám pomáha rozpoznávať a vytvárať vyvážené tvary v umení, architektúre a dizajne. Inžinieri ju využívajú pri stavbe mostov a budov, aby boli pevné a stabilné. V prírode sa súmernosť objavuje všade — od kvetov po telá živočíchov. Pochopenie súmernosti rozvíja priestorovú predstavivosť, ktorú potrebuješ v geometrii aj v bežnom živote.