Osová súmernosť Nezačaté

0. Kľúčové fakty

1. Osová súmernosť — Je to geometrické zobrazenie, pri ktorom sa každý bod útvaru prevráti na druhú stranu priamky tak, ako keby sa útvar zrkadlil. Patrí medzi tzv. zhodné zobrazenia, lebo obraz má presne rovnakú veľkosť aj tvar ako pôvodný útvar. Predstav si zrkadlo postavené na priamku — to, čo vidíš v zrkadle, je obraz v osovej súmernosti.

2. Os súmernosti — Je priamka, podľa ktorej sa útvar zrkadlí; funguje ako os preklopenia, akoby čiara prehnutia papiera. Ak útvar prehneme presne podľa osi súmernosti, obe polovice sa úplne prekryjú. Os môže byť zvislá, vodorovná aj šikmá — dôležité je len to, že rozdeľuje útvar na dve zhodné zrkadlové časti.

3. Osovo súmerný útvar — Útvar je osovo súmerný vtedy, keď preň existuje aspoň jedna os súmernosti, podľa ktorej sa dá preložiť tak, že sa obe polovice presne kryjú. Takéto útvary nájdeš všade okolo seba — motýľ, list stromu, ľudská tvár alebo písmeno A. Schopnosť rozpoznať takýto útvar je prvým a základným cieľom celej témy.

4. Vzor a obraz — Pôvodný útvar (alebo bod) sa nazýva vzor a útvar, ktorý vznikne zrkadlením, sa nazýva obraz. Body obrazu zvyčajne označujeme rovnakými písmenami s čiarkou, napríklad bod A sa zobrazí na bod A′ (čítame „á s čiarkou"). Toto označovanie ti pomáha presne vidieť, ktorý bod vznikol z ktorého.

5. Zhodnosť vzoru a obrazu — Pri osovej súmernosti sa nikdy nemení veľkosť ani tvar útvaru, mení sa len jeho poloha a „stranovosť". Úsečka dlhá 5 cm má aj obraz dlhý presne 5 cm a uhol s veľkosťou 60° má obraz tiež 60°. Práve preto je osová súmernosť zhodné zobrazenie — vzor a obraz sú navzájom zhodné útvary.

6. Kolmosť k osi a rovnaká vzdialenosť — Spojnica každého bodu vzoru s jeho obrazom je vždy kolmá na os súmernosti. Navyše bod vzoru aj jeho obraz sú od osi vzdialené presne rovnako — ak je bod 3 cm od osi, jeho obraz je tiež 3 cm od osi na opačnej strane. Tieto dve pravidlá sú návodom, ako presne zostrojiť obraz pomocou pravítka a kružidla.

7. Samodružné body (body na osi) — Body, ktoré ležia priamo na osi súmernosti, sa zobrazia samé na seba a nazývame ich samodružné body. Ich vzdialenosť od osi je nulová, preto sa pri zrkadlení nepohnú. Ak teda útvar pretína os, body v mieste pretnutia zostávajú na rovnakom mieste.

8. Zostrojenie obrazu bodu — Aby si našiel obraz bodu, vedieš z neho kolmicu na os, odmeriaš vzdialenosť bodu od osi a tú istú vzdialenosť nanesieš na opačnú stranu osi. Tak vznikne obraz bodu A′. Obraz celého útvaru zostrojíš tak, že takto zobrazíš jeho dôležité body (napríklad vrcholy) a potom ich spojíš v rovnakom poradí ako vo vzore.

9. Útvary s viacerými osami súmernosti — Niektoré útvary majú jednu os, iné majú osí viac. Štvorec má napríklad 4 osi súmernosti, obdĺžnik 2, rovnostranný trojuholník 3 a kruh má nekonečne veľa osí. Počítanie a kreslenie osí pomáha pochopiť, ako veľmi je útvar „pravidelný".

10. Útvary bez osi súmernosti — Nie každý útvar je osovo súmerný; napríklad bežný rôznostranný trojuholník alebo nepravidelný štvoruholník nemá žiadnu os súmernosti. Pri takomto útvare neexistuje priamka, podľa ktorej by sa dal preložiť na dve kryjúce sa polovice. Rozlíšiť súmerný útvar od nesúmerného je dôležitá zručnosť pri riešení úloh.

11. Osová súmernosť v reálnom svete — Súmernosť podľa osi nájdeme v prírode (motýle, listy, snehové vločky), v architektúre (priečelia budov, mosty) aj v písmenách abecedy (A, H, M, T, O majú os súmernosti). Mnohé technické výkresy a ornamenty sa kreslia práve pomocou osovej súmernosti. Vďaka tomu má táto téma praktické využitie v umení, dizajne aj v technike.

12. Os súmernosti útvarov vs. dvojica útvarov — Treba rozlišovať dve situácie: jeden útvar môže byť sám osovo súmerný (os prechádza ním), alebo dva samostatné útvary môžu byť navzájom súmerné podľa osi medzi nimi. V prvom prípade hľadáme os vnútri útvaru, v druhom os leží medzi vzorom a obrazom. Obe situácie sa riadia tými istými pravidlami o kolmosti a rovnakej vzdialenosti od osi.

1. Poučka

Útvar je osovo súmerný, ak existuje priamka (os súmernosti), ktorá ho rozdelí na dve zhodné časti tak, že jedna časť je presným zrkadlovým obrazom druhej. Body súmerného útvaru, ktoré si zodpovedajú, sú rovnako vzdialené od osi a spojnica každej dvojice bodov je na os kolmá.

2. Vysvetlenie

Predstav si, že útvar prehneš pozdĺž priamky. Ak sa obe polovice presne prekryjú, je to osová súmernosť a priamka prehybu je os súmernosti.

Ako zostrojíš obraz bodu v osovej súmernosti: 1. Z bodu spustíš kolmicu na os súmernosti. 2. Odmeriaš vzdialenosť bodu od osi. 3. Na druhej strane osi naneseš rovnakú vzdialenosť na tej istej kolmici. 4. Tam leží obraz bodu — označíš ho čiarkou (napr. A → A').

Celý útvar zostrojíš tak, že takto premietneš jeho hlavné body (vrcholy) a obrazy pospájaš.

3. Príklady a prečo je to dôležité

Príklad 1 — obraz bodu: Bod B je vo vzdialenosti 3 cm od osi o. Zostroj jeho obraz B'.
Z bodu B narysuj kolmicu na os o. Priesečník kolmice s osou označ P.
Odmeraj |BP| = 3 cm.
Na tej istej kolmici nanes za os ďalšie 3 cm od bodu P a označ bod B'.
Kontrola: B aj B' sú od osi rovnako ďaleko, |BB'| = 3 + 3 = 6 cm.
Výsledok → B' leží na kolmici za osou, 3 cm od osi a 6 cm od bodu B

Príklad 2 — obraz úsečky: Úsečka AB má dĺžku 4 cm a os o ju nepretína. Zostroj jej obraz A'B'.
Zostroj obraz bodu A: kolmica na os, rovnaká vzdialenosť na druhej strane → A'.
Rovnako zostroj obraz bodu B → B'.
Spoj body A' a B'.
Osová súmernosť nemení dĺžky, preto |A'B'| = |AB| = 4 cm.
Výsledok → obraz je úsečka A'B' s dĺžkou 4 cm

Príklad 3 — počet osí súmernosti útvarov: Koľko osí súmernosti má obdĺžnik, štvorec a rovnoramenný trojuholník?
Obdĺžnik: osi spájajú stredy protiľahlých strán, sú 2. Uhlopriečky osami nie sú (po prehnutí sa polovice neprekryjú).
Štvorec: 2 osi cez stredy strán a 2 osi po uhlopriečkach, spolu 4.
Rovnoramenný trojuholník: jedna os, ide cez hlavný vrchol a stred základne.
Výsledok → obdĺžnik 2, štvorec 4, rovnoramenný trojuholník 1

Príklad 4 — písmená: Ktoré z písmen A, B, F, H, K majú zvislú a ktoré vodorovnú os súmernosti?
Zvislá os (prehneme zľava doprava): A, H.
Vodorovná os (prehneme zhora nadol): B, H, K.
F nemá žiadnu os, jeho polovice sa nikdy neprekryjú.
Výsledok → zvislú os majú A, H, vodorovnú B, H, K, písmeno F nemá žiadnu

Príklad 5 — bod na osi: Bod D leží priamo na osi o. Kde leží jeho obraz?
Vzdialenosť bodu D od osi je 0 cm.
Na druhú stranu nanesieme tiež 0 cm, preto obraz splynie s bodom.
Výsledok → obraz D' je ten istý bod D

Príklad 6 — z praxe, vystrihovanka: Papier prehneš napoly a vystrihneš polovicu srdca pri prehybe. Čo dostaneš po rozložení?
Prehyb papiera je os súmernosti.
Nožnicami strihneš naraz obe vrstvy, preto druhá polovica vznikne ako zrkadlový obraz prvej.
Výsledok → celé osovo súmerné srdce, os je čiara prehybu

Prečo je to dôležité: súmernosť nám pomáha rozpoznávať tvary, navrhovať pekné a vyvážené veci (architektúra, dizajn, umenie), používa sa v prírode aj technike. Vďaka nej vieme rýchlo zostrojiť alebo dokresliť chýbajúcu časť útvaru a rozumieme zrkadlovému zobrazeniu.

Precvič si

1. Bod C je vo vzdialenosti 2,5 cm od osi o. Ako ďaleko od osi je jeho obraz C'? Aká je vzdialenosť |CC'|?
2. Koľko osí súmernosti má štvorec?
3. Ktoré z písmen A, F, H, L, T majú zvislú os súmernosti?
4. Úsečka MN má dĺžku 6 cm. Akú dĺžku má jej obraz M'N' v osovej súmernosti?
5. Koľko osí súmernosti má rovnostranný trojuholník, napríklad dopravná značka „Daj prednosť v jazde"?
6. Bod E leží 3 cm od osi o a bod F leží na osi. Zostroj obrazy E' a F'. Aká je vzdialenosť |EE'|?