Percentá Nezačaté

0. Kľúčové fakty

1. Percento (znak %) — Percento je stotina celku, teda 1 % = 1/100 = 0,01. Slovo pochádza z latinského „per centum" (na sto). Percentá sú len iný spôsob zápisu zlomkov so menovateľom 100 a desatinných čísel, vďaka čomu sa dajú prehľadne porovnávať pomery (napr. 25 % = 25/100 = 0,25 = štvrtina).

2. Tri základné veličiny: základ, časť, počet percent — Pri každej úlohe o percentách vystupujú tri hodnoty. Základ (z) je celok, ktorý zodpovedá 100 %. Časť (č) je hodnota zodpovedajúca danému počtu percent. Počet percent (p) udáva, koľko stotín základu berieme. Rozpoznať, ktorá veličina v úlohe chýba, je kľúčom k jej vyriešeniu.

3. Jedno percento (1 %) — Jedno percento základu vypočítame ako základ delený stom: 1 % = z : 100. Tento medzikrok je veľmi praktický, lebo keď poznáme hodnotu 1 %, ľahko získame ľubovoľný počet percent jednoduchým násobením. Napríklad ak je 1 % zo 600 rovných 6, potom 7 % je 7 · 6 = 42.

4. Výpočet časti — Časť vypočítame podľa vzťahu č = z · p : 100, prípadne č = z · (p/100). Hľadáme „koľko je p % zo základu". Príklad: 15 % z 200 = 200 · 15 : 100 = 30. Toto je najčastejší typ úlohy, napríklad pri výpočte DPH, prepitného alebo časti triedy.

5. Výpočet počtu percent — Ak poznáme časť aj základ a hľadáme, koľko percent časť tvorí, použijeme p = č : z · 100. Odpovedáme na otázku „koľko percent je časť zo základu". Príklad: 30 zo 120 je 30 : 120 · 100 = 25 %. Takto zisťujeme napríklad úspešnosť v teste alebo podiel chlapcov v triede.

6. Výpočet základu — Keď poznáme časť a počet percent a hľadáme celok, použijeme z = č : p · 100. Odpovedáme na otázku „z akého základu je časť rovná p %". Príklad: ak 20 % nejakej sumy je 50 €, potom celá suma je 50 : 20 · 100 = 250 €. Tento typ býva pre žiakov najnáročnejší, lebo celok nie je priamo zadaný.

7. Trojčlenka ako univerzálny nástroj — Mnohé percentové úlohy sa dajú vyriešiť priamou úmernosťou (trojčlenkou), kde 100 % zodpovedá základu. Zapíšeme dvojicu „100 % → základ" a „p % → ?" a krížovým násobením dopočítame neznámu. Trojčlenka je výhodná, lebo si netreba pamätať tri samostatné vzorce — stačí jeden postup.

8. Promile (znak ‰) — Promile je tisícina celku, teda 1 ‰ = 1/1000 = 0,001, čo je desaťkrát menej než percento. Používa sa tam, kde sú podiely veľmi malé, napríklad obsah alkoholu v krvi alebo slanosť vody. Platí, že 10 ‰ = 1 %.

9. Zľava (zníženie o percentá) — Zľava znamená, že z pôvodnej ceny (základ = 100 %) odpočítame určitý počet percent. Novú cenu vypočítame buď tak, že od ceny odčítame vypočítanú zľavu, alebo rovno vynásobíme cenu zvyšným percentom (napr. pri 30 % zľave platíme 70 % ceny). Príklad: tovar za 80 € so zľavou 25 % stojí 80 · 0,75 = 60 €.

10. Úrok a istina — Pri sporení alebo pôžičke je istina vložená alebo požičaná suma (základ) a úrok je časť, ktorú banka pripíše alebo si účtuje podľa úrokovej miery v percentách. Ročný úrok vypočítame ako istina · úroková miera : 100. Príklad: z 500 € pri úroku 2 % za rok získame 500 · 2 : 100 = 10 €.

11. Zvýšenie o percentá (navýšenie) — Pri zdražení, raste alebo pripočítaní DPH sa k základu (100 %) percentá pripočítavajú, takže výsledok je viac než 100 %. Novú hodnotu získame pripočítaním vypočítanej časti k základu, alebo vynásobením základu súčtom percent (napr. pri 20 % zvýšení násobíme 1,20). Príklad: cena 50 € zvýšená o 10 % je 50 · 1,1 = 55 €.

12. Percentá v praxi a kontrola výsledku — Percentá sa využívajú v obchode (zľavy, DPH), v bankovníctve (úroky), v štatistike (grafy, prieskumy) aj v bežnom živote (úspešnosť, podiely). Pri riešení je dobré odhadnúť výsledok a skontrolovať jeho zmysluplnosť — napríklad 50 % musí byť presne polovica základu a žiadna časť pri zľave nemôže byť väčšia než pôvodný celok.

1. Poučka

Percento je stotina celku. 1 % = 1/100 = 0,01. Pri počítaní s percentami rozlišujeme tri veličiny: - základ (z) — celok, ktorý berieme ako 100 %, - počet percent (p) — koľko percent počítame, - časť (č) — hodnota, ktorá zodpovedá danému počtu percent.

Hlavný vzťah: č = z · p / 100. Z neho vieme dopočítať aj základ (z = č · 100 / p) a počet percent (p = č / z · 100).

2. Vysvetlenie

Predstav si celok rozdelený na 100 rovnakých dielikov. Jeden dielik = 1 %. Postupuj po krokoch:

1. Zisti, čo je základ (celok = 100 %).
2. Zisti, čo hľadáš — časť, základ alebo počet percent.
3. Percento preveď na desatinné číslo: vydeľ stom (25 % = 0,25).
4. Dosaď do vzorca a vypočítaj.

Pomôcka: „z percent na číslo" = deliť 100; „z čísla na percentá" = násobiť 100.

3. Príklady a prečo je to dôležité

Príklad 1 — výpočet časti: Koľko je 20 % zo 150?
Základ z = 150, počet percent p = 20, hľadáme časť.
20 % = 0,20
č = 150 · 0,20 = 30
Výsledok → 20 % zo 150 je 30

Príklad 2 — výpočet počtu percent: Koľko percent je 18 zo 60?
Základ z = 60, časť č = 18, hľadáme počet percent.
p = č / z · 100 = 18 / 60 · 100
18 / 60 = 0,3 a 0,3 · 100 = 30
Výsledok → 18 zo 60 je 30 %

Príklad 3 — výpočet základu: 12 je 15 % z čoho?
Časť č = 12, počet percent p = 15, hľadáme základ.
Najprv 1 %: 12 : 15 = 0,8
Celok je 100 %: 0,8 · 100 = 80
Výsledok → 12 je 15 % z čísla 80

Príklad 4 — z praxe, zľava: Mikina stojí 40 €, zľava je 25 %. Koľko zaplatíš?
Zľava: 40 · 25 / 100 = 10 €
Nová cena: 40 − 10 = 30 €
Kontrola: po zľave 25 % platíš 75 % ceny, 40 · 0,75 = 30 €
Výsledok → zaplatíš 30 €

Príklad 5 — z praxe, úrok v banke: Vložíš 200 € s ročným úrokom 3 %. Koľko budeš mať na účte po roku?
Úrok za rok: 200 · 3 / 100 = 6 €
Na účte: 200 + 6 = 206 €
Výsledok → po roku máš na účte 206 €

Príklad 6 — pôvodná cena po zľave: Topánky po zľave 20 % stoja 64 €. Aká bola pôvodná cena?
Po zľave 20 % ostáva 100 % − 20 % = 80 % pôvodnej ceny.
80 % je 64 €, teda 1 % je 64 : 80 = 0,8 €
100 %: 0,8 · 100 = 80 €
Výsledok → pôvodná cena bola 80 €

Prečo je to dôležité: percentá stretneš každý deň — zľavy v obchode, DPH, úroky v banke, dane, batéria telefónu (85 %), výsledky testu (úspešnosť), štatistiky. Kto rozumie percentám, vie si overiť, či je zľava naozaj výhodná a koľko reálne zaplatí alebo zarobí.

Precvič si

1. Vypočítaj 15 % z 240.
2. Koľko percent je 45 zo 180?
3. Číslo 27 je 45 % z akého základu?
4. V triede je 25 žiakov, 8 z nich dostalo z písomky jednotku. Koľko percent žiakov to je?
5. Telefón stál 320 € a zdražel o 5 %. Koľko stojí teraz?
6. Kniha po zľave 30 % stojí 14 €. Aká bola jej pôvodná cena?