Podobnosť trojuholníkov Nezačaté

0. Kľúčové fakty

1. Podobnosť trojuholníkov — Dva trojuholníky sú podobné, keď majú rovnaký tvar, ale spravidla rôznu veľkosť. To znamená, že jeden je „zväčšenina" alebo „zmenšenina" druhého. Podobnosť zapisujeme symbolom ∼, napríklad ABC ∼ A'B'C'. Je to základ pre prácu s mierkou, mapami a plánmi.

2. Dve podmienky podobnosti — Aby boli trojuholníky podobné, musia platiť SÚČASNE dve veci: majú zhodné (rovnako veľké) zodpovedajúce uhly a pomer dĺžok zodpovedajúcich strán je rovnaký. Tvar zostáva zachovaný, mení sa len veľkosť. Práve preto sú podobné trojuholníky také užitočné pri prepočtoch.

3. Pomer podobnosti k — Pomer podobnosti (koeficient podobnosti) k je číslo, ktoré hovorí, koľkokrát je jeden trojuholník väčší alebo menší ako druhý. Vypočítame ho ako podiel dĺžok dvoch zodpovedajúcich strán, napríklad k = a' : a. Ak k > 1, ide o zväčšenie; ak k < 1, o zmenšenie; ak k = 1, trojuholníky sú zhodné.

4. Zhodnosť ako špeciálny prípad — Zhodné trojuholníky sú vlastne podobné trojuholníky s pomerom podobnosti k = 1. Majú rovnaký tvar aj rovnakú veľkosť. Podobnosť je teda všeobecnejší pojem než zhodnosť. Toto pomáha pochopiť, že každé dva zhodné útvary sú automaticky aj podobné.

5. Veta sss (strana-strana-strana) — Dva trojuholníky sú podobné, ak pomer všetkých troch dvojíc zodpovedajúcich strán je rovnaký. Stačí teda overiť, že a':a = b':b = c':c. Túto vetu používame, keď poznáme dĺžky všetkých strán oboch trojuholníkov. Je to najpriamejší spôsob dôkazu podobnosti.

6. Veta uu (uhol-uhol) — Ak sa dva trojuholníky zhodujú v dvoch dvojiciach uhlov, sú podobné. Dôvod je jednoduchý: súčet vnútorných uhlov trojuholníka je vždy 180°, takže ak sa zhodujú dva uhly, automaticky sa zhoduje aj tretí. Táto veta sa využíva najčastejšie, lebo uhly sa ľahko merajú a porovnávajú.

7. Veta sus (strana-uhol-strana) — Dva trojuholníky sú podobné, ak majú rovnaký pomer dvoch dvojíc strán a uhol medzi týmito stranami je v oboch zhodný. Spája v sebe podmienku pre strany aj uhol. Používame ju, keď poznáme dve strany a uhol, ktorý zvierajú. Je to praktický nástroj, keď nemáme všetky tri strany.

8. Zodpovedajúce strany a uhly — Pri podobnosti je kľúčové správne priradiť, ktorá strana a uhol jedného trojuholníka zodpovedá ktorému v druhom. Proti zhodným uhlom ležia zodpovedajúce strany. Poradie vrcholov v zápise ABC ∼ A'B'C' nie je náhodné — určuje práve toto priradenie. Chyba v priradení vedie k nesprávnemu pomeru a chybnému výsledku.

9. Pomer obvodov — Ak sú dva trojuholníky podobné s pomerom podobnosti k, potom aj pomer ich obvodov je rovný k. Obvod sa teda mení rovnako ako jednotlivé strany, pretože je ich súčtom. Vďaka tomu vieme rýchlo dopočítať obvod väčšieho útvaru, ak poznáme obvod menšieho a koeficient k.

10. Pomer obsahov — Pomer obsahov (plôch) podobných trojuholníkov nie je k, ale k². Ak teda zväčšíme trojuholník 3-krát (k = 3), jeho obsah sa zväčší 9-krát (3² = 9). Toto je častá chyba žiakov — plocha rastie rýchlejšie ako dĺžky. Pochopenie tohto vzťahu je dôležité pri výpočtoch plôch v mierke.

11. Mierka ako podobnosť — Mierka na mapách a v plánoch (napríklad 1 : 50 000) je priamym využitím podobnosti. Číslo mierky je vlastne pomer podobnosti medzi obrázkom a skutočnosťou. Pri mierke 1 : 50 000 zodpovedá 1 cm na mape 50 000 cm (teda 500 m) v skutočnosti. Vďaka podobnosti vieme z mapy vypočítať reálne vzdialenosti.

12. Praktické využitie podobnosti — Podobnosť trojuholníkov sa využíva pri nepriamom meraní výšok a vzdialeností, ktoré nevieme zmerať priamo — napríklad výšku stromu, budovy alebo šírku rieky. Pomocou tieňa a podobných trojuholníkov vieme dopočítať neznámu dĺžku z pomeru známych dĺžok. Tento princíp poznali a používali už starovekí matematici, napríklad Táles z Milétu.

1. Poučka

Dva trojuholníky sú podobné, ak majú rovnaké zodpovedajúce uhly a ich zodpovedajúce strany sú v rovnakom pomere. Tento pomer sa nazýva pomer podobnosti a označuje sa k.

Podobnosť zapisujeme ABC ~ A′B′C′. Platí:

k = a′/a = b′/b = c′/c

Trojuholníky sú podobné, ak je splnená aspoň jedna z viet o podobnosti: - uu — zhodujú sa v dvoch uhloch, - sss — pomery všetkých troch dvojíc strán sú rovnaké, - sus — pomer dvoch dvojíc strán je rovnaký a uhly medzi nimi sú zhodné.

2. Vysvetlenie

Predstav si fotku, ktorú zväčšíš. Tvar zostane rovnaký, len je väčší — to je podobnosť.

Krok za krokom: 1. Nájdi zodpovedajúce vrcholy (poradie písmen musí sedieť: A↔A′, B↔B′, C↔C′). 2. Over uhly — pri podobných trojuholníkoch sú zodpovedajúce uhly rovnaké. 3. Vypočítaj pomer strán k = a′/a. Ak vyjde rovnaké číslo pre všetky dvojice, trojuholníky sú podobné. 4. Ak k > 1, ide o zväčšenie; ak k < 1, o zmenšenie; ak k = 1, trojuholníky sú zhodné. 5. Keď poznáš k, dokážeš dopočítať chýbajúcu stranu: neznámu stranu vynásobíš (alebo vydelíš) pomerom k.

Pozor: uhly sa pri podobnosti nemenia, menia sa len dĺžky strán.

3. Príklady a prečo je to dôležité

Príklad 1 — určenie pomeru podobnosti: Trojuholník ABC má strany 3 cm, 4 cm, 5 cm a podobný trojuholník A′B′C′ má strany 6 cm, 8 cm, 10 cm. Urči pomer podobnosti k.
Delíme si zodpovedajúce strany (najkratšiu s najkratšou atď.):
6 : 3 = 2, 8 : 4 = 2, 10 : 5 = 2
Všetky podiely sú rovnaké → trojuholník A′B′C′ je dvakrát väčší, k = 2

Príklad 2 — dopočítanie strán: Trojuholník ABC má strany 4 cm, 6 cm, 7 cm. Podobný trojuholník A′B′C′ má najkratšiu stranu 10 cm. Urči k a zvyšné strany.
Pomer podobnosti z najkratších strán: k = 10 : 4 = 2,5
Ďalšie strany: 6 · 2,5 = 15 cm a 7 · 2,5 = 17,5 cm
Výsledok: k = 2,5, strany 15 cm a 17,5 cm

Príklad 3 — zmenšenie (k menšie ako 1): Trojuholník ABC má strany 8 cm, 12 cm, 16 cm. Trojuholník A′B′C′ je s ním podobný s pomerom k = 0,25. Aké má strany?
Každú stranu vynásobíme 0,25 (to je to isté ako deliť 4):
8 · 0,25 = 2 cm, 12 · 0,25 = 3 cm, 16 · 0,25 = 4 cm
Strany A′B′C′ → 2 cm, 3 cm, 4 cm

Príklad 4 — overenie podobnosti podľa vety sss: Sú podobné trojuholníky so stranami 2, 3, 4 a 4, 6, 8? A trojuholníky so stranami 3, 4, 5 a 6, 8, 9?
Prvá dvojica: 4 : 2 = 2, 6 : 3 = 2, 8 : 4 = 2 → všetky pomery rovnaké → sú podobné
Druhá dvojica: 6 : 3 = 2, 8 : 4 = 2, ale 9 : 5 = 1,8 → pomery nie sú rovnaké → nie sú podobné

Príklad 5 — výška stromu z tieňa (z praxe): Tyč vysoká 1 m vrhá tieň 1,5 m. Strom vrhá v tom istom čase tieň 12 m. Aký vysoký je strom?
Slnečné lúče dopadajú pod rovnakým uhlom → trojuholníky tyč–tieň a strom–tieň sú podobné.
Tieň stromu je k-krát dlhší: k = 12 : 1,5 = 8
Výška stromu: 1 · 8 = 8 m

Príklad 6 — mierka mapy (z praxe): Na mape s mierkou 1 : 50 000 je úsek cesty dlhý 4 cm. Aká je skutočná dĺžka?
Mierka je pomer podobnosti: 1 cm na mape = 50 000 cm v skutočnosti.
4 · 50 000 = 200 000 cm = 2 000 m = 2 km

Prečo je to dôležité: Podobnosť umožňuje merať nedostupné vzdialenosti (výška budovy, šírka rieky) bez toho, aby sme tam fyzicky liezli. Využívajú ju kartografi (mapy a mierky), architekti (plány a modely), geodeti, fotografi aj tvorcovia zmenšených modelov. Je to základ, na ktorom stojí goniometria, ktorú sa budeš učiť neskôr.

Precvič si

1. Trojuholník ABC má strany 2 cm, 5 cm a 6 cm. Trojuholník A′B′C′ je s ním podobný s pomerom k = 3. Vypočítaj strany A′B′C′.
2. Trojuholník ABC má strany 9 cm, 12 cm, 15 cm, trojuholník A′B′C′ má strany 3 cm, 4 cm, 5 cm. Urči pomer podobnosti k (ABC ~ A′B′C′).
3. Rozhodni podľa vety sss, či sú podobné trojuholníky so stranami 5, 6, 8 a 10, 12, 15.
4. Na mape s mierkou 1 : 25 000 je chodník dlhý 9,2 cm. Aká je jeho skutočná dĺžka v kilometroch?
5. Model auta v mierke 1 : 43 je dlhý 10 cm. Aké dlhé je skutočné auto?
6. Človek vysoký 1,8 m vrhá tieň 2,4 m. Kostolná veža vrhá v tom istom čase tieň 32 m. Aká vysoká je veža?