Pomer a mierka Nezačaté

0. Kľúčové fakty

1. Pomer — Pomer je zápis, ktorý porovnáva dve (alebo viac) veličín rovnakého druhu a vyjadruje, koľkokrát je jedna väčšia či menšia ako druhá. Zapisujeme ho dvojbodkou v tvare a : b (čítame „a ku b"), napríklad 3 : 2. Členy pomeru a a b sa nazývajú prvý a druhý člen pomeru a musia mať rovnakú jednotku, inak ich treba najprv previesť.

2. Hodnota pomeru — Každý pomer a : b sa dá vyjadriť aj ako zlomok a/b alebo desatinné číslo, čomu hovoríme hodnota pomeru. Vďaka tomu úzko súvisí so zlomkami a delením, takže všetko, čo platí pre zlomky, platí aj pre pomery. Napríklad pomer 6 : 4 má hodnotu 6/4 = 1,5.

3. Krátenie a rozširovanie pomeru — Pomer sa nezmení, ak obidva jeho členy vynásobíme alebo vydelíme tým istým nenulovým číslom — rovnako ako pri zlomkoch. Tento princíp nám umožňuje pomer zjednodušiť (skrátiť) na základný tvar, napríklad 12 : 8 = 3 : 2 (vydelili sme štyrmi). Krátenie je dôležité, lebo základný tvar pomeru sa ľahšie porovnáva aj počíta.

4. Základný (krátený) tvar pomeru — Pomer je v základnom tvare vtedy, keď sú jeho členy nesúdeliteľné, teda ich najväčší spoločný deliteľ je 1. Je to najjednoduchší možný zápis daného pomeru, napríklad 3 : 2 namiesto 9 : 6. Pri prevode treba členy najprv previesť na rovnakú jednotku, napríklad 1 m : 50 cm = 100 cm : 50 cm = 2 : 1.

5. Prevrátený (opačný) pomer — Ak v pomere a : b vymeníme poradie členov, dostaneme prevrátený pomer b : a, ktorý opisuje ten istý vzťah z opačnej strany. Napríklad ak je pomer chlapcov k dievčatám 3 : 2, tak pomer dievčat k chlapcom je 2 : 1,5 čiže 2 : 1,5 — preto vždy záleží na poradí veličín. Poradie členov musí presne zodpovedať poradiu veličín v zadaní úlohy.

6. Postupný pomer — Keď porovnávame naraz tri alebo viac veličín, používame postupný pomer v tvare a : b : c, napríklad pri delení na tri časti 2 : 3 : 5. Aj postupný pomer sa kráti a rozširuje tak, že všetkými členmi naraz delíme alebo násobíme tým istým číslom. Súčet členov (tu 2 + 3 + 5 = 10) udáva počet rovnakých dielov, na ktoré celok rozdelíme.

7. Delenie celku v danom pomere — Častá úloha je rozdeliť určité množstvo (peniaze, dĺžku, hmotnosť) v zadanom pomere. Postup: sčítame členy pomeru, čím získame počet dielov, celok vydelíme týmto počtom (veľkosť jedného dielu) a potom každý člen vynásobíme veľkosťou dielu. Napríklad 600 € v pomere 2 : 3 → 2 + 3 = 5 dielov, 600 : 5 = 120 €, takže časti sú 2 · 120 = 240 € a 3 · 120 = 360 €.

8. Pomer a priama úmernosť — Pomery úzko súvisia s priamou úmernosťou: ak dve veličiny rastú v rovnakom pomere, sú priamo úmerné a ich vzťah sa dá riešiť trojčlenkou. Mnohé slovné úlohy (recepty, miešanie farieb, počet robotníkov a práca) sú založené práve na zachovaní pomeru. Preto je zvládnutie pomeru základom pre ďalšie učivo o úmernostiach a percentách.

9. Mierka — Mierka je pomer, ktorý udáva, koľkokrát je obraz na mape, pláne alebo modeli zmenšený (prípadne zväčšený) oproti skutočnosti. Zapisuje sa v tvare 1 : n, napríklad 1 : 100 000, pričom oba členy sú v rovnakej jednotke. Mierka 1 : 100 000 znamená, že 1 cm na mape zodpovedá 100 000 cm v skutočnosti.

10. Mierka zmenšenia a zväčšenia — Pri mapách a plánoch ide o mierku zmenšenia, kde je druhý člen väčší ako prvý (1 : 50 000) — skutočnosť je väčšia než obraz. Pri drobných predmetoch (súčiastky, bunky pod mikroskopom) sa používa mierka zväčšenia, kde je prvý člen väčší (napríklad 50 : 1). Podľa typu mierky vieme hneď povedať, či je objekt v skutočnosti väčší alebo menší ako jeho zobrazenie.

11. Výpočet skutočnej vzdialenosti — Skutočnú vzdialenosť vypočítame tak, že vzdialenosť odmeranú na mape vynásobíme druhým členom mierky. Napríklad pri mierke 1 : 100 000 a nameraných 4 cm je skutočná vzdialenosť 4 · 100 000 = 400 000 cm = 4 km. Dôležitý je správny prevod jednotiek na konci výpočtu (cm → m → km), inak vyjde nesprávny výsledok.

12. Výpočet vzdialenosti na mape — Opačná úloha: skutočnú vzdialenosť prevedieme na rovnakú jednotku a vydelíme druhým členom mierky, čím dostaneme vzdialenosť na mape. Napríklad 5 km pri mierke 1 : 100 000 → 5 km = 500 000 cm, 500 000 : 100 000 = 5 cm na mape. Tieto výpočty sa využívajú v geografii, turistike aj pri tvorbe technických výkresov.

1. Poučka

Pomer je porovnanie dvoch (alebo viacerých) čísel, ktoré vyjadruje, koľkokrát je jedno väčšie alebo menšie než druhé. Zapisujeme ho dvojbodkou: a : b (čítame „a ku b"). Členy pomeru sú a (predný člen) a b (zadný člen).

Pomer nezmení svoju hodnotu, keď oba členy vynásobíme alebo vydelíme tým istým číslom (okrem nuly). Tak pomer rozširujeme a krátime. Pomer v základnom tvare má členy, ktoré sú nesúdeliteľné (ich najväčší spoločný deliteľ je 1).

Mierka je pomer, ktorý hovorí, koľkokrát je obraz na mape alebo pláne zmenšený (alebo zväčšený) oproti skutočnosti. Zapisuje sa napr. 1 : 100 000 a znamená, že 1 cm na mape = 100 000 cm v skutočnosti.

2. Vysvetlenie

Pomer si predstav ako „recept": na 2 hrnčeky múky daj 1 hrnček cukru → pomer múky k cukru je 2 : 1.

Postup po krokoch: 1. Zápis pomeru — porovnávané hodnoty oddelíš dvojbodkou v rovnakom poradí, ako ich pomenuješ (múka : cukor). 2. Krátenie — oba členy vydelíš ich najväčším spoločným deliteľom, aby si dostal základný tvar (napr. 6 : 9 = 2 : 3). 3. Rozširovanie — oba členy vynásobíš tým istým číslom (napr. 2 : 3 = 8 : 12). 4. Rozdelenie v danom pomere — spočítaj počet dielov (a + b), vypočítaj veľkosť jedného dielu a každú časť dopočítaj. 5. Mierka — z mierky 1 : M platí: skutočná vzdialenosť = vzdialenosť na mape · M. Pozor na prevod jednotiek (cm → m → km).

3. Príklady a prečo je to dôležité

1. Recept (kuchyňa): Cesto má pomer múky a vody 3 : 1. Ak vezmeš 600 g múky, vody potrebuješ 200 g (600 : 200 = 3 : 1).
2. Krátenie pomeru: V triede je 12 chlapcov a 18 dievčat. Pomer 12 : 18 skrátime delením 6 → 2 : 3.
3. Rozdelenie v pomere: Odmenu 250 € si dvaja rozdelia v pomere 2 : 3. Spolu je 5 dielov, jeden diel = 250 : 5 = 50 €. Prvý dostane 2 · 50 = 100 €, druhý 3 · 50 = 150 €.
4. Mapa (mierka): Na mape s mierkou 1 : 50 000 sú dve mestá vzdialené 8 cm. Skutočná vzdialenosť = 8 · 50 000 = 400 000 cm = 4 km.
5. Plán bytu: Na pláne s mierkou 1 : 100 má izba dĺžku 4 cm. V skutočnosti meria 4 · 100 = 400 cm = 4 m.
6. Riedenie (prax): Sirup miešame s vodou v pomere 1 : 7. Na 1 dcl sirupu pridáš 7 dcl vody.

Prečo je to dôležité: Pomer a mierku používaš pri varení, miešaní farieb či čistiacich prostriedkov, pri čítaní máp a turistike, v stavebných a technických výkresoch, pri prepočte mien a zliav. Bez nich by si nevedel zmenšiť dom na výkres ani zväčšiť recept pre viac ľudí.