Pravdepodobnosť a štatistika Nezačaté

0. Kľúčové fakty

1. Štatistika — Štatistika je odbor matematiky, ktorý sa zaoberá zbieraním, usporadúvaním, spracovaním a vyhodnocovaním údajov o veľkých skupinách (napríklad o žiakoch v triede či obyvateľoch mesta). Vďaka nej dokážeme z množstva čísel vyčítať prehľadné závery, napríklad ktorá odpoveď bola najčastejšia. Je dôležitá, lebo sa s ňou stretávame denne v novinách, športe aj na internete.

2. Štatistický súbor a jednotka — Štatistický súbor je celá skupina objektov, ktoré skúmame (napr. všetci žiaci 8. ročníka), a každý jednotlivý objekt v ňom je štatistická jednotka (jeden žiak). Počet všetkých jednotiek v súbore nazývame rozsah súboru. Tieto pojmy potrebujeme, aby sme presne vedeli, koho alebo čo vlastne meriame a koľkých údajov sa to týka.

3. Zber a usporiadanie údajov — Údaje najprv získame meraním, anketou alebo pozorovaním a potom ich usporiadame, aby sa s nimi dalo pracovať. Najčastejšie ich zapisujeme čiarkovou metódou (čiarky po piatich) alebo do tabuľky početností. Usporiadanie je kľúčové, lebo neusporiadaná hromada čísel nám nič nepovie, no prehľadná tabuľka odhalí vzťahy hneď.

4. Tabuľka početností — Je to tabuľka, v ktorej ku každej hodnote priradíme, koľkokrát sa v súbore vyskytla (jej početnosť alebo frekvenciu). Napríklad pri hádzaní kockou zapíšeme, koľkokrát padla jednotka, dvojka atď. Súčet všetkých početností sa musí rovnať rozsahu súboru, čo slúži ako kontrola správnosti zápisu.

5. Diagramy (grafy) — Diagram je obrázkové znázornenie údajov, ktoré robí čísla názornými na prvý pohľad. Stĺpcový diagram porovnáva výšky stĺpcov, kruhový (koláčový) diagram ukazuje podiely z celku ako výseky koláča a líniový (čiarový) diagram zobrazuje vývoj veličiny v čase. Správne zvolený typ grafu uľahčí pochopenie a porovnanie údajov.

6. Čítanie údajov z grafov — Dôležitou zručnosťou je vedieť z hotového grafu prečítať konkrétne hodnoty — pozrieť na os, nadpis, legendu a jednotky. Z výšky stĺpca alebo polohy bodu vieme určiť presné číslo, prípadne porovnať, ktorá hodnota je najväčšia či najmenšia. Túto zručnosť využijeme pri čítaní správ, štatistík počasia alebo výsledkov ankiet.

7. Aritmetický priemer — Aritmetický priemer vypočítame tak, že sčítame všetky hodnoty a súčet vydelíme ich počtom. Vzorec je: priemer = (súčet všetkých hodnôt) : (počet hodnôt). Priemer nám dáva jedno „typické" číslo, ktoré zastupuje celý súbor — napríklad priemernú známku či priemernú teplotu — a preto je to najpoužívanejšia štatistická charakteristika.

8. Modus a medián — Modus je hodnota, ktorá sa v súbore vyskytuje najčastejšie (má najväčšiu početnosť), a medián je prostredná hodnota, keď údaje usporiadame od najmenšej po najväčšiu. Tieto charakteristiky dopĺňajú priemer a niekedy lepšie vystihujú súbor, hlavne ak sú v ňom extrémne hodnoty, ktoré by priemer skreslili.

9. Najväčšia a najmenšia hodnota, rozpätie — V súbore vždy vieme určiť maximum (najväčšiu hodnotu) a minimum (najmenšiu hodnotu) a ich rozdiel nazývame rozpätie (variačné rozpätie). Rozpätie nám hovorí, ako veľmi sú údaje rozptýlené — či sú blízko pri sebe, alebo veľmi rozdielne. Pomáha posúdiť, nakoľko je priemer spoľahlivý a vyrovnaný.

10. Pravdepodobnosť — Pravdepodobnosť je číslo, ktoré vyjadruje, nakoľko očakávame, že nastane určitá náhodná udalosť. Udáva sa zlomkom, desatinným číslom alebo percentami a vždy má hodnotu od 0 (nemožná udalosť) po 1 (istá udalosť). Vďaka nej dokážeme rozumne uvažovať o veciach, ktoré sú neisté, napríklad o počasí, hrách alebo hodoch kockou.

11. Náhodný pokus a udalosť — Náhodný pokus je dej, ktorého výsledok nevieme vopred s istotou určiť, napríklad hod kockou, mincou alebo ťahanie loptičky z vrecka. Jeden konkrétny možný výsledok alebo ich skupinu nazývame udalosť (napr. „padne párne číslo"). Tieto pojmy sú základom, bez ktorého by sme pravdepodobnosť nevedeli presne vyjadriť.

12. Klasický výpočet pravdepodobnosti — Pri pokusoch, kde sú všetky výsledky rovnako možné, vypočítame pravdepodobnosť ako podiel: P = (počet priaznivých výsledkov) : (počet všetkých možných výsledkov). Napríklad pravdepodobnosť, že na kocke padne číslo 3, je 1 : 6, lebo je jeden priaznivý výsledok zo šiestich možných. Tento vzorec je jadrom celej kapitoly o pravdepodobnosti.

13. Istá, nemožná a rovnako pravdepodobná udalosť — Istá udalosť nastane vždy a má pravdepodobnosť 1 (napr. že na šesťstennej kocke padne číslo menšie ako 7), nemožná nenastane nikdy a má pravdepodobnosť 0 (napr. že padne číslo 8). O rovnako pravdepodobných udalostiach hovoríme vtedy, keď majú rovnakú šancu nastať, ako padnutie hlavy či znaku pri hode mincou. Intuitívne posúdenie týchto situácií nám pomáha odhadnúť šance aj bez presného výpočtu.

1. Poučka

Štatistika je zbieranie, usporiadanie a vyhodnotenie údajov. Údaje zapisujeme do tabuliek a zobrazujeme diagramami (stĺpcový, kruhový, čiarový).

Aritmetický priemer = súčet všetkých hodnôt delený ich počtom: priemer = (súčet všetkých hodnôt) / (počet hodnôt)

Pravdepodobnosť udalosti vyjadruje, ako veľmi je udalosť istá. Počítame ju ako: P = (počet priaznivých možností) / (počet všetkých možností) Pravdepodobnosť je vždy číslo od 0 (nemožná udalosť) po 1 (istá udalosť).

2. Vysvetlenie

1. Zber údajov — zistíme hodnoty (známky, výšky, hody kockou) a zapíšeme ich.
2. Usporiadanie — dáta vložíme do tabuľky (čiarkovaním spočítame, koľkokrát sa hodnota vyskytla = početnosť).
3. Zobrazenie — z tabuľky urobíme stĺpcový alebo kruhový diagram, aby boli údaje prehľadné.
4. Čítanie grafu — z výšky stĺpca alebo z výseku koláča vieme prečítať konkrétnu hodnotu.
5. Priemer — sčítame všetky hodnoty a vydelíme ich počtom.
6. Pravdepodobnosť — spočítame, koľko možností nám „vyhovuje", a vydelíme to počtom všetkých možností. Čím bližšie k 1, tým je udalosť pravdepodobnejšia.

3. Príklady a prečo je to dôležité

1. Známky v teste: trieda dostala 2, 3, 1, 4, 2, 3, 1, 2. Priemer = (2+3+1+4+2+3+1+2) ÷ 8 = 18 ÷ 8 = 2,25.
2. Hod kockou: padne číslo väčšie ako 4 (čiže 5 alebo 6). P = 2/6 = 1/3 ≈ 0,33.
3. Hod mincou: padne hlava. P = 1/2 = 0,5 — udalosť je „na polovicu" istá.
4. Vrecko s guľôčkami: vo vrecku je 5 červených a 3 modré (spolu 8). Vytiahnutie červenej: P = 5/8 = 0,625.
5. Počasie v správach: „pravdepodobnosť dažďa 80 %" znamená P = 0,8 — dážď je veľmi pravdepodobný.
6. Tabuľka obľúbených športov v triede zobrazená kruhovým diagramom ukáže, ktorý šport má najväčší výsek.

Prečo je to dôležité: Štatistiku a pravdepodobnosť stretávaš každý deň — vo voľbách, v športových výsledkoch, v predpovedi počasia, pri reklame aj v hrách. Pomáha ti rozhodovať sa rozumne, nenechať sa oklamať „peknými" číslami v médiách a chápať, čo údaje naozaj hovoria.