Premenná, výraz a lineárne rovnice Nezačaté

0. Kľúčové fakty

1. Premenná — Premenná je písmeno (najčastejšie x, y, a, b), ktoré zastupuje neznáme alebo meniace sa číslo. Umožňuje zapísať všeobecné vzťahy a pravidlá, ktoré platia pre veľa rôznych čísel naraz, nie iba pre jedno konkrétne. Vďaka premenným vieme riešiť úlohy, kde hodnotu zatiaľ nepoznáme a hľadáme ju.

2. Číselný výraz — Číselný výraz obsahuje iba čísla a znaky počtových operácií (napríklad 3 · 4 + 7). Vždy ho vieme úplne vypočítať a dostaneme jedno konkrétne číslo, ktoré voláme jeho hodnota. Je to najjednoduchší typ výrazu, lebo neobsahuje žiadnu neznámu.

3. Výraz s premennou — Výraz s premennou obsahuje okrem čísel aj aspoň jednu premennú, napríklad 2 · a + 5 alebo 3x − 1. Nevieme ho vypočítať na jedno číslo, kým za premennú nedosadíme konkrétnu hodnotu. Práve to ho odlišuje od číselného výrazu a robí ho nástrojom na popis všeobecných vzťahov.

4. Hodnota výrazu pri danej premennej — Hodnotu výrazu zistíme tak, že za premennú dosadíme dané číslo a výraz vypočítame podľa poradia operácií. Napríklad pre výraz 2x + 3 pri x = 4 dostaneme 2 · 4 + 3 = 11. Pri rôznych hodnotách premennej dostávame rôzne výsledky, preto je dôležité presne dodržať dosadenie.

5. Sčítanie a odčítanie výrazov (zlučovanie členov) — Spočítať alebo odčítať môžeme iba rovnaké členy, teda tie s rovnakou premennou: 3a + 5a = 8a, ale 3a + 5b sa už zjednodušiť nedá. Pri tom sčítavame len čísla pred premennou (koeficienty) a premenná ostáva nezmenená. Tomuto postupu sa hovorí zlučovanie rovnakých členov a zjednodušuje dlhé výrazy.

6. Násobenie výrazu číslom (roznásobenie zátvorky) — Keď násobíme výraz číslom, vynásobíme týmto číslom každý člen vnútri zátvorky: 3 · (2x + 4) = 6x + 12. Platí tu distributívny zákon, ktorý spája násobenie so sčítaním. Roznásobenie zátvorky je kľúčový krok pri úprave výrazov aj pri riešení rovníc.

7. Lineárna rovnica — Lineárna rovnica je rovnosť dvoch výrazov, v ktorej sa premenná vyskytuje len v prvej mocnine, napríklad 2x + 3 = 11. Riešiť rovnicu znamená nájsť také číslo (koreň), ktoré po dosadení za premennú urobí ľavú a pravú stranu rovnakou. Lineárna rovnica má spravidla práve jedno riešenie.

8. Riešenie úvahou a skúškou — Jednoduché rovnice vieme vyriešiť úvahou: pýtame sa, „aké číslo musím dosadiť, aby rovnosť platila?" Pri rovnici 2x + 3 = 11 uvážime, že 2x = 8, teda x = 4. Skúška znamená dosadiť nájdené číslo späť do pôvodnej rovnice a overiť, že obe strany sú naozaj rovnaké — tak sa uistíme, že výsledok je správny.

9. Rovnováha rovnice (rovnaké úpravy oboch strán) — Rovnicu si môžeme predstaviť ako váhy, ktoré sú v rovnováhe. Keď k jednej strane niečo pripočítame, odpočítame, vynásobíme alebo vydelíme, musíme urobiť to isté aj s druhou stranou, inak sa rovnováha poruší. Vďaka tomuto pravidlu postupne osamostatníme premennú a nájdeme jej hodnotu.

10. Vyjadrenie neznámej zo vzorca — Zo vzorca vieme osamostatniť ľubovoľnú veličinu pomocou rovnakých úprav, ako pri rovnici. Napríklad z obvodu obdĺžnika O = 2 · (a + b) vieme vyjadriť stranu a = O : 2 − b. Táto zručnosť je dôležitá vo fyzike aj geometrii, lebo umožňuje z jedného vzorca počítať rôzne neznáme veličiny.

11. Slovná úloha vedúca na rovnicu — Pri slovnej úlohe neznámu hodnotu označíme premennou (napríklad x), zo zadania zostavíme rovnicu a tú vyriešime. Napríklad „o aké číslo zväčšené o 7 dáva 20?" zapíšeme ako x + 7 = 20, odkiaľ x = 13. Dôležité je výsledok overiť skúškou a sformulovať odpoveď celou vetou v kontexte úlohy.

12. Pravouhlá sústava súradníc — Pravouhlú sústavu súradníc tvoria dve na seba kolmé číselné osi: vodorovná os x a zvislá os y, ktoré sa pretínajú v začiatku označenom O so súradnicami [0; 0]. Túto sústavu zaviedol francúzsky matematik René Descartes, preto sa nazýva aj karteziánska. Umožňuje znázorniť čísla a vzťahy ako body a útvary v rovine.

13. Súradnice bodu — Každý bod v rovine je jednoznačne určený usporiadanou dvojicou čísel [x; y], kde prvé číslo (x-ová súradnica) udáva polohu vľavo–vpravo a druhé (y-ová súradnica) hore–dole. Napríklad bod A [3; 2] nájdeme tak, že z osi x ideme o 3 doprava a o 2 nahor. Záleží na poradí čísel, lebo [3; 2] a [2; 3] sú dva rôzne body.

14. Koeficient a člen výrazu — Číslo, ktorým je premenná vynásobená, sa nazýva koeficient (vo výraze 5x je koeficientom 5), a jednotlivé časti výrazu oddelené znamienkami + a − voláme členy. Rozlišovanie členov a koeficientov je nevyhnutné pri zlučovaní výrazov a úpravách rovníc. Člen bez premennej (napríklad 7) sa volá konštanta.

1. Poučka

Premenná je písmeno (najčastejšie x, y, a, b), ktoré zastupuje neznáme alebo meniace sa číslo. Výraz je zápis zložený z čísel, premenných a operácií (+, −, ·, :). - Číselný výraz obsahuje len čísla: 3 · 4 + 5. - Výraz s premennou obsahuje aspoň jednu premennú: 3x + 5.

Lineárna rovnica s jednou neznámou je rovnosť dvoch výrazov, kde sa premenná vyskytuje len v prvej mocnine (napr. 2x + 3 = 11). Jej riešením je tá hodnota premennej, pri ktorej platí ľavá strana = pravá strana.

Pravidlo úprav: Rovnicu nezmeníme, ak k obom stranám pripočítame/odčítame to isté číslo alebo obe strany vynásobíme/vydelíme rovnakým číslom (okrem nuly).

2. Vysvetlenie

Predstav si premennú ako prázdne okienko, do ktorého môžeš dosadiť číslo.

Hodnota výrazu = výsledok, ktorý dostaneš po dosadení čísla za premennú. Napr. pre 2x + 1 pri x = 5: 2 · 5 + 1 = 11.

Počítanie s výrazmi po krokoch: 1. Sčítame/odčítame len rovnaké členy (tie s rovnakou premennou): 3x + 2x = 5x. 2. Číslo násobíme každý člen v zátvorke: 2 · (x + 4) = 2x + 8.

Vyjadrenie neznámej zo vzorca = osamostatníme hľadané písmeno na jednu stranu. Napr. z o = 2 · (a + b) vyjadríme a takto: a = o : 2 − b.

Riešenie rovnice úvahou/skúškou: hľadáme číslo, ktoré po dosadení sedí, a overíme ho skúškou.

3. Príklady a prečo je to dôležité

Príklad 1 — hodnota výrazu: Urči hodnotu výrazu 5x − 3 pri x = 4.
Za premennú x dosadíme číslo 4: 5 · 4 − 3
Najprv násobíme: 5 · 4 = 20
Potom odčítame: 20 − 3 = 17

Príklad 2 — zjednodušenie výrazu: Zjednoduš výraz 4x + 3 + 2x − 1.
Spojíme členy s premennou x: 4x + 2x = 6x
Spojíme samotné čísla: 3 − 1 = 2
Spolu: 4x + 3 + 2x − 1 = 6x + 2

Príklad 3 — roznásobenie zátvorky: Roznásob a zjednoduš 3 · (2x − 5) + 4x.
Číslom 3 vynásobíme každý člen v zátvorke: 3 · 2x = 6x a 3 · (−5) = −15
Dostaneme: 6x − 15 + 4x
Spojíme členy s x: 6x + 4x = 10x
Spolu: 3 · (2x − 5) + 4x = 10x − 15

Príklad 4 — rovnica so skúškou: Vyrieš rovnicu 2x + 5 = 17 a urob skúšku.
Od oboch strán odčítame 5: 2x = 12
Obe strany vydelíme 2: x = 6
Skúška: ľavá strana 2 · 6 + 5 = 17, pravá strana 17 → obe strany sa rovnajú.
Riešenie rovnice: x = 6

Príklad 5 — vyjadrenie neznámej zo vzorca (z praxe): Plot okolo obdĺžnikovej záhrady má dĺžku o = 2 · (a + b). Plot meria 50 m a strana a = 15 m. Aká dlhá je strana b?
Obe strany vzorca vydelíme 2: o : 2 = a + b
Od oboch strán odčítame a: b = o : 2 − a
Dosadíme čísla: b = 50 : 2 − 15 = 25 − 15 = 10 m

Príklad 6 — slovná úloha: Mysli si číslo, vynásob ho 3 a pripočítaj 7. Dostaneš 31. Aké číslo si si myslel?
Neznáme číslo označíme x a zapíšeme rovnicu: 3x + 7 = 31
Od oboch strán odčítame 7: 3x = 24
Obe strany vydelíme 3: x = 8
Skúška: 3 · 8 + 7 = 24 + 7 = 31, sedí.
Myslel si si číslo x = 8

Prečo je to dôležité: Premenné a rovnice sú „jazyk", ktorým opisujeme veci, ktoré ešte nepoznáme — koľko zaplatíš za nákup, koľko času potrebuješ na cestu, aký rozmer má pozemok. Vzorce vo fyzike, financiách aj v bežnom živote (zľavy, splátky, recepty pri inom počte porcií) sú výrazy s premennými. Kto vie pracovať s rovnicou, vie premeniť slovnú úlohu na presný výpočet.

Precvič si

1. Urči hodnotu výrazu 3a + 4 pri a = 5.
2. Zjednoduš výraz: 5y − 2 + 3y + 9.
3. Roznásob a zjednoduš: 4 · (x + 3) − 2x.
4. Vyrieš rovnicu a urob skúšku: 5x − 7 = 18.
5. Vyrieš rovnicu: 3 · (x − 2) = x + 8.
6. Lístok do kina stojí x €, nápoj 2 €. Štyria kamaráti si kúpili každý lístok aj nápoj a zaplatili spolu 38 €. Zostav rovnicu a vypočítaj cenu lístka.