Priama a nepriama úmernosť Nezačaté

0. Kľúčové fakty

1. Úmernosť (úmera) — Úmernosť je vzťah medzi dvoma veličinami, ktoré sa menia spoločne podľa pevného pravidla. Ak poznáme tento vzťah, vieme z jednej hodnoty dopočítať druhú. Práve preto je úmernosť základom mnohých výpočtov v bežnom živote — od nákupov cez recepty až po prepočet rýchlosti.

2. Priama úmernosť — Dve veličiny sú priamo úmerné, keď s rastom jednej rastie aj druhá v rovnakom pomere — koľkokrát sa zväčší jedna, toľkokrát sa zväčší aj druhá. Napríklad ak 1 rožok stojí 0,20 €, tak 5 rožkov stojí 5-krát viac. Platí, že keď jednu veličinu zdvojnásobíme, zdvojnásobí sa aj druhá; keď ju zmenšíme na polovicu, zmenší sa aj druhá.

3. Nepriama úmernosť — Dve veličiny sú nepriamo úmerné, keď s rastom jednej druhá v rovnakom pomere klesá — koľkokrát sa zväčší jedna, toľkokrát sa zmenší druhá. Typický príklad: čím viac robotníkov pracuje, tým kratší čas im práca trvá. Keď počet robotníkov zdvojnásobíme, čas klesne na polovicu.

4. Konštanta priamej úmernosti — Pri priamej úmernosti je podiel oboch veličín stále rovnaký: y : x = k (konštanta). Toto pravidlo je kľúčové na rozlíšenie — ak po vydelení dvojíc hodnôt vždy vyjde rovnaké číslo, ide o priamu úmernosť. Konštanta k vyjadruje napríklad cenu za jeden kus alebo prejdenú vzdialenosť za jednu hodinu.

5. Konštanta nepriamej úmernosti — Pri nepriamej úmernosti je súčin oboch veličín stále rovnaký: x · y = k (konštanta). Ak po vynásobení dvojíc hodnôt vždy vyjde to isté číslo, ide o nepriamu úmernosť. Napríklad počet robotníkov krát počet dní práce dáva stále rovnaký celkový objem práce.

6. Pomer — Pomer porovnáva dve hodnoty toho istého druhu, zapisuje sa ako a : b a číta sa „a ku b". Úmernosť je vlastne rovnosť dvoch pomerov, preto je pochopenie pomeru nevyhnutným predpokladom. Pomer 2 : 3 sa dá krátiť a rozširovať rovnako ako zlomok, čo využívame pri výpočtoch.

7. Trojčlenka — Trojčlenka je spôsob riešenia úloh o úmernosti, pri ktorom z troch známych údajov dopočítame štvrtý neznámy. Úlohu si prehľadne zapíšeme do dvoch riadkov tak, aby pod sebou boli rovnaké veličiny. Trojčlenka je najpoužívanejší nástroj tejto témy, lebo rýchlo a spoľahlivo vedie k výsledku.

8. Šípky pri trojčlenke — Pri zápise trojčlenky kreslíme šípky, ktoré určujú smer výpočtu: pri priamej úmernosti idú obe šípky rovnakým smerom, pri nepriamej úmernosti idú opačným smerom. Tieto šípky sú dôležité, lebo rozhodujú o tom, či pri záverečnom výpočte budeme násobiť a deliť „priamo", alebo či pomer obrátime. Práve zlý smer šípok je najčastejšou chybou žiakov.

9. Postup výpočtu trojčlenkou — Najprv prepočítame hodnotu na jednu jednotku (tzv. prechod cez jednotku), potom ju vynásobíme požadovaným počtom. Pri priamej úmernosti delíme aj násobíme priamo, pri nepriamej úmernosti pomer pred násobením obrátime. Tento jasný postup robí z trojčlenky univerzálny nástroj na rôzne praktické úlohy.

10. Graf priamej úmernosti — Priama úmernosť sa v sústave súradníc zobrazuje ako priamka prechádzajúca začiatkom súradníc (bodom [0; 0]). Čím je veličina priamo úmernejšia, tým rovnomernejšie priamka stúpa. Graf umožňuje na prvý pohľad odhadnúť hodnoty a overiť, že ide naozaj o priamu úmernosť.

11. Graf nepriamej úmernosti — Nepriama úmernosť sa zobrazuje ako klesajúca krivka (hyperbola), ktorá sa k osiam približuje, ale nikdy sa ich nedotkne. Tvar krivky ukazuje, že keď je jedna veličina veľmi malá, druhá je veľmi veľká a naopak. Rozdielny tvar grafov je ďalším spôsobom, ako od seba oba typy úmernosti odlíšiť.

12. Využitie v praxi — Úmernosti a trojčlenku používame pri nákupoch (cena podľa množstva), pri varení (úprava receptu pre viac osôb), pri cestovaní (vzdialenosť, čas a rýchlosť), v mapách (mierka) aj pri práci (počet ľudí a čas). Vďaka tomu patrí táto téma medzi najpraktickejšie v celej matematike základnej školy. Schopnosť rozlíšiť typ úmernosti a správne zostaviť trojčlenku je zručnosť, ktorú človek využíva po celý život.

1. Poučka

Dve veličiny sú v priamej úmernosti, ak s rastom jednej rastie aj druhá v tom istom pomere — koľkokrát sa zväčší jedna, toľkokrát sa zväčší aj druhá. Ich podiel je stále rovnaký: y : x = k (konštanta).

Dve veličiny sú v nepriamej úmernosti, ak s rastom jednej druhá v tom istom pomere klesá — koľkokrát sa zväčší jedna, toľkokrát sa zmenší druhá. Ich súčin je stále rovnaký: x · y = k.

Úlohy s úmernosťou riešime trojčlenkou (pravidlo troch).

2. Vysvetlenie

Postupuj po krokoch: 1. Pomenuj veličiny v úlohe (napr. počet kusov a cena). 2. Rozhodni o type úmernosti — opýtaj sa: „Keď je jednej veličiny viac, je druhej tiež viac, alebo menej?" - Viac → viac (alebo menej → menej) = priama úmernosť. - Viac → menej (alebo menej → viac) = nepriama úmernosť. 3. Zapíš trojčlenku — známe hodnoty pod seba, neznámu označ x. 4. Nakresli šípky: pri priamej úmernosti šípky rovnakým smerom, pri nepriamej opačným smerom. 5. Vypočítaj x krížovým násobením podľa šípok.

3. Príklady a prečo je to dôležité

Príklad 1 — nákup, priama úmernosť: 3 rožky stoja 0,30 €. Koľko stojí 8 rožkov?
Typ: viac rožkov → viac peňazí, je to priama úmernosť.
Trojčlenka: 3 rožky … 0,30 €, 8 rožkov … x €
Najprv 1 rožok: 0,30 : 3 = 0,10 €
8 rožkov: 8 · 0,10 = 0,80 €
Výsledok → 8 rožkov stojí 0,80 €

Príklad 2 — spotreba benzínu, priama úmernosť: Auto spotrebuje 6 litrov benzínu na 100 km. Koľko spotrebuje na 250 km?
Typ: viac kilometrov → viac benzínu, priama úmernosť.
Trojčlenka: 100 km … 6 l, 250 km … x l
Šípky idú rovnakým smerom: x = 6 · 250 / 100 = 1 500 / 100 = 15
Výsledok → auto spotrebuje 15 litrov

Príklad 3 — maliari, nepriama úmernosť: 2 maliari natrú plot za 6 hodín. Za koľko hodín ho natrú 3 maliari?
Typ: viac maliarov → menej času, je to nepriama úmernosť.
Celková práca: 2 · 6 = 12 hodín práce jedného maliara.
3 maliari: 12 : 3 = 4 hodiny
Výsledok → 3 maliari natrú plot za 4 hodiny

Príklad 4 — zásoby, nepriama úmernosť: Krmivo vystačí 4 koňom na 30 dní. Na koľko dní vystačí 6 koňom?
Typ: viac koní → menej dní, nepriama úmernosť.
Trojčlenka: 4 kone … 30 dní, 6 koní … x dní
Šípky idú opačným smerom: x = 30 · 4 / 6 = 120 / 6 = 20
Výsledok → krmivo vystačí na 20 dní

Príklad 5 — recept z praxe, priama úmernosť: Na koláč pre 4 osoby treba 200 g múky. Koľko múky treba pre 6 osôb?
Typ: viac osôb → viac múky, priama úmernosť.
Na 1 osobu: 200 : 4 = 50 g
Na 6 osôb: 6 · 50 = 300 g
Výsledok → treba 300 g múky

Príklad 6 — rýchlosť a čas, nepriama úmernosť: Pri rýchlosti 60 km/h trvá cesta 3 hodiny. Ako dlho trvá pri rýchlosti 90 km/h?
Typ: väčšia rýchlosť → menej času, nepriama úmernosť.
Súčin je stály: 60 · 3 = 180 (dĺžka cesty v km)
Pri 90 km/h: 180 : 90 = 2
Výsledok → cesta trvá 2 hodiny

Prečo je to dôležité: úmernosť používaš každý deň — pri nakupovaní a prepočte cien, pri varení a zmene počtu porcií, pri plánovaní času práce, pri prepočte mierky na mape, kurzov mien či percent. Trojčlenka ti rýchlo a spoľahlivo dá správny výsledok bez hádania.

Precvič si

1. 3 zošity stoja 2,40 €. Koľko stojí 5 zošitov?
2. Auto ide stálou rýchlosťou a za 1 hodinu prejde 80 km. Koľko km prejde za 2,5 hodiny?
3. Na mape zodpovedá 1 cm skutočnej vzdialenosti 2 km. Aká je skutočná vzdialenosť, ak na mape nameriaš 7,5 cm?
4. 4 robotníci urobia prácu za 15 dní. Za koľko dní urobí rovnakú prácu 6 robotníkov?
5. Cyklista ide rýchlosťou 15 km/h a cesta mu trvá 4 hodiny. Ako dlho by mu trvala, keby išiel rýchlosťou 20 km/h?
6. 3 rovnaké čerpadlá vyprázdnia nádrž za 10 hodín. Za koľko hodín ju vyprázdni 5 takých čerpadiel? Urči aj typ úmernosti.