Stredová súmernosť Nezačaté

0. Kľúčové fakty

1. Stredová súmernosť — je geometrické zobrazenie roviny, pri ktorom sa každý bod otočí okolo jedného pevného bodu (stredu) o 180°. Patrí medzi zhodné zobrazenia, čo znamená, že útvar a jeho obraz majú rovnakú veľkosť aj tvar — líšia sa len polohou. Je to základný typ súmernosti, ktorý sa v matematike označuje aj ako súmernosť podľa bodu.

2. Stred súmernosti S — je pevný bod, okolo ktorého sa celé zobrazenie deje a ktorý sa pri zobrazení nemení (zobrazí sa sám na seba). Je to akoby „otočný čap" celého útvaru. Každý bod a jeho obraz ležia na priamke, ktorá vždy prechádza práve týmto stredom.

3. Obraz bodu A → A' — pôvodný bod sa väčšinou označuje veľkým písmenom (napr. A) a jeho obraz tým istým písmenom s čiarkou (A', čítame „á s čiarkou"). Toto označovanie pomáha jasne rozlíšiť, ktorý bod je vzor a ktorý je výsledok zobrazenia. Rovnako sa značia aj obrazy úsečiek, priamok či celých útvarov.

4. Stred je polovica úsečky AA' — kľúčové pravidlo znie: stred súmernosti S leží presne v strede úsečky spájajúcej bod a jeho obraz. To znamená, že vzdialenosť |AS| sa rovná vzdialenosti |SA'|. Vďaka tomuto pravidlu vieme obraz bodu zostrojiť aj nájsť stred, keď poznáme dvojicu súmerných bodov.

5. Konštrukcia obrazu bodu — obraz bodu A zostrojíme tak, že nakreslíme polpriamku z bodu A cez stred S a za stred nanesieme rovnakú vzdialenosť, akú má bod A od stredu. Použijeme pravítko (na priamku) a kružidlo alebo meranie (na prenesenie vzdialenosti). Bod A' tak vznikne na opačnej strane stredu v rovnakej vzdialenosti.

6. Hľadanie stredu súmernosti — ak máme dvojicu stredovo súmerných bodov A a A', stred nájdeme ako stred ich spojnice (úsečky AA'). Pri celých útvaroch spojíme dve dvojice zodpovedajúcich si bodov a priesečník týchto spojníc je hľadaným stredom súmernosti. Toto je opačná úloha ku konštrukcii obrazu.

7. Stredovo súmerný útvar — útvar je stredovo súmerný vtedy, keď existuje bod (stred), podľa ktorého sa zobrazí sám na seba. Po otočení o 180° okolo tohto stredu vyzerá útvar úplne rovnako ako predtým. Medzi takéto útvary patria napríklad kruh, štvorec, obdĺžnik, kosoštvorec, kosodĺžnik a pravidelný šesťuholník.

8. Stred súmernosti útvaru — pri stredovo súmernom útvare je stredom práve jeho „prostriedok": pri kruhu je to jeho stred, pri štvorci a obdĺžniku priesečník uhlopriečok. Práve okolo tohto bodu sa útvar otočí na seba. Útvary ako rovnostranný trojuholník však stredovo súmerné nie sú, lebo taký bod pre ne neexistuje.

9. Otočenie o 180° — stredová súmernosť sa rovná otočeniu (rotácii) okolo stredu o polovicu plného kruhu, teda o priamy uhol. Preto sa obraz javí „prevrátený dolu hlavou" oproti pôvodnému útvaru. Tým sa stredová súmernosť líši od osovej súmernosti, ktorá funguje ako zrkadlenie podľa priamky (osi).

10. Rozdiel oproti osovej súmernosti — pri osovej súmernosti zrkadlíme útvar podľa priamky (osi) a obraz je zrkadlovo prevrátený, kým pri stredovej súmernosti otáčame útvar okolo jediného bodu (stredu). Niektoré útvary majú obe súmernosti (napr. štvorec), iné len jednu. Rozlišovať tieto dva typy je dôležité, aby sme správne určili vlastnosti útvaru.

11. Práca vo štvorcovej sieti — vo štvorcovej (mriežkovej) sieti zostrojujeme obrazy bodov jednoduchým počítaním štvorčekov od stredu. Ak je bod napríklad 3 štvorčeky vpravo a 2 hore od stredu, jeho obraz bude 3 štvorčeky vľavo a 2 dole od stredu. Mriežka uľahčuje presné zobrazovanie úsečiek, trojuholníkov aj iných útvarov bez merania.

12. Obraz úsečky, priamky a kružnice — obraz úsečky AB zostrojíme tak, že nájdeme obrazy jej krajných bodov A' a B' a spojíme ich; obraz priamky je opäť priamka. Obrazom kružnice je kružnica s rovnakým polomerom, pričom stačí zobraziť jej stred a polomer ponechať rovnaký. Tieto pravidlá platia preto, že stredová súmernosť je zhodné zobrazenie a zachováva dĺžky aj tvary.

1. Poučka

Stredová súmernosť je zhodné zobrazenie, ktoré má jeden pevný bod — stred súmernosti S. Bod A' je stredovo súmerný s bodom A podľa stredu S, ak bod S leží v strede úsečky AA' — teda úsečky AS a SA' sú rovnako dlhé a body A, S, A' ležia na jednej priamke. Stred S je jediný bod, ktorý sa zobrazí sám na seba (samodružný bod). Útvar je stredovo súmerný, ak sa po otočení o 180° okolo svojho stredu prekryje sám so sebou.

2. Vysvetlenie

Predstav si, že obrázok otočíš o pol otáčky (180°) okolo jedného bodu. To je stredová súmernosť.

Ako zostrojiť obraz A' bodu A podľa stredu S: 1. Spoj bod A so stredom S (narysuj priamku cez A a S). 2. Odmeraj vzdialenosť od A po S. 3. Tú istú vzdialenosť nanes od S na opačnú stranu. 4. Tam je obraz A'. Platí: |AS| = |SA'|.

Útvar (úsečku, trojuholník, kružnicu) zobrazíš tak, že takto zostrojíš obraz každého dôležitého bodu (vrcholy, krajné body, stred kružnice) a body pospájaš. Obraz má rovnaký tvar aj veľkosť ako pôvodný útvar — len je „otočený naopak".

3. Príklady a prečo je to dôležité

Príklad 1 — obraz bodu: Bod A je od stredu S vzdialený 3 cm. Zostroj jeho obraz A' v stredovej súmernosti podľa stredu S.
Narysuj priamku cez body A a S.
Odmeraj |AS| = 3 cm.
Od bodu S nanes 3 cm na opačnú stranu priamky a označ bod A'.
Kontrola: |AS| = |SA'| = 3 cm, teda |AA'| = 3 + 3 = 6 cm a S je stred úsečky AA'.
Výsledok → A' leží na priamke AS za stredom, 3 cm od S a 6 cm od A

Príklad 2 — štvorcová sieť: Bod B je 4 políčka vpravo a 1 políčko hore od stredu S. Kde leží jeho obraz B'?
Stredová súmernosť otočí smer na opačný: vpravo → vľavo, hore → dole.
Počet políčok sa nemení.
Výsledok → B' je 4 políčka vľavo a 1 políčko dole od S

Príklad 3 — obraz úsečky: Úsečka KL má dĺžku 5 cm, stred S leží mimo nej. Zostroj obraz K'L'.
Zostroj obraz bodu K: priamka KS, rovnaká vzdialenosť za S → K'.
Rovnako zostroj obraz bodu L → L'.
Spoj body K' a L'.
Obraz má rovnakú veľkosť, preto |K'L'| = |KL| = 5 cm, a je s KL rovnobežný, len „otočený naopak".
Výsledok: |K'L'| = 5 cm

Príklad 4 — nájdenie stredu súmernosti: Body C a C' sú stredovo súmerné a sú od seba vzdialené 10 cm. Kde leží stred súmernosti S?
Stred S leží vždy v strede úsečky medzi bodom a jeho obrazom.
Spoj body C a C' a nájdi stred úsečky CC': 10 : 2 = 5 cm
Pri dvoch súmerných útvaroch (napr. trojuholníkoch) spojíš dvojicu zodpovedajúcich vrcholov a hľadáš stred tejto úsečky.
Výsledok → S je v strede úsečky CC', 5 cm od C aj od C'

Príklad 5 — písmená abecedy: Ktoré z písmen S, N, Z, H, O, X, I, A, B sú stredovo súmerné?
Každé písmeno v duchu otočíme o pol otáčky (180°) okolo jeho stredu.
S, N, Z, H, O, X, I vyzerajú po otočení rovnako.
A je po otočení „hore nohami", B má bruška vľavo, takže sa neprekryjú.
Výsledok → stredovo súmerné sú S, N, Z, H, O, X, I, písmená A a B nie

Príklad 6 — z praxe, hracia karta: Prečo hráč nemusí otáčať kartu „kárová desiatka", keď ju dostane dolu hlavou?
Po otočení karty o 180° okolo jej stredu sa obrázok prekryje sám so sebou.
Výsledok → karta je stredovo súmerná a vyzerá rovnako z oboch strán

Prečo je to dôležité: Stredová súmernosť ti pomáha presne rysovať a otáčať útvary, rozumieť vyváženosti tvarov v technike, architektúre a umení a je základom pre ďalšie geometrické zobrazenia (osová súmernosť, otáčanie). Naučí ťa aj presne pracovať so štvorcovou sieťou a súradnicami.

Precvič si

1. Bod B je od stredu S vzdialený 2,5 cm. Ako ďaleko je jeho obraz B' od stredu S a ako ďaleko od bodu B?
2. Vo štvorcovej sieti je bod C 2 políčka vľavo a 4 políčka hore od stredu S. Kde leží jeho obraz C'?
3. Kde leží obraz samotného stredu S?
4. Úsečka MN má dĺžku 7 cm. Akú dĺžku má jej obraz M'N' v stredovej súmernosti?
5. Ktoré z písmen N, E, Z, T, I sú stredovo súmerné?
6. Body D a D' sú stredovo súmerné a sú od seba vzdialené 12 cm. Ako ďaleko od bodu D leží stred súmernosti S?