Trojuholník Nezačaté

0. Kľúčové fakty

1. Trojuholník — je rovinný geometrický útvar ohraničený tromi úsečkami, ktoré sa nazývajú strany. Má tri vrcholy (zvyčajne označené veľkými písmenami A, B, C) a tri vnútorné uhly. Je to najjednoduchší mnohouholník, pretože útvar nemôže mať menej ako tri strany.

2. Vrcholy a strany — vrcholy trojuholníka označujeme veľkými písmenami A, B, C a strany malými písmenami a, b, c. Platí dôležité pravidlo: strana leží vždy oproti vrcholu s rovnakým písmenom — strana a leží oproti vrcholu A, strana b oproti vrcholu B a strana c oproti vrcholu C. Vďaka tomu vieme presne pomenovať každú časť trojuholníka.

3. Trojuholníková nerovnosť — súčet dĺžok ktorýchkoľvek dvoch strán trojuholníka musí byť vždy väčší ako dĺžka tretej strany. Ak by to neplatilo (napríklad strany 2 cm, 3 cm a 10 cm), trojuholník by sa nedal narysovať, lebo dve kratšie strany by sa „nestretli". Toto pravidlo si vždy overujeme pred rysovaním.

4. Súčet vnútorných uhlov — všetky tri vnútorné uhly v každom trojuholníku majú dohromady presne 180°. Toto platí pre úplne každý trojuholník, nech je akokoľvek veľký alebo natočený. Ak poznáme dva uhly, tretí ľahko dopočítame odčítaním od 180°.

5. Delenie podľa strán — podľa dĺžok strán rozlišujeme tri druhy trojuholníkov. Rovnostranný má všetky tri strany rovnako dlhé, rovnoramenný má dve strany (ramená) rovnaké a rôznostranný (všeobecný) má všetky tri strany rôzne dlhé. Toto triedenie je jedným z hlavných cieľov tejto témy.

6. Rovnostranný trojuholník — má nielen všetky tri strany rovnako dlhé, ale aj všetky tri vnútorné uhly rovnaké, a to po 60° (lebo 180° : 3 = 60°). Je to najpravidelnejší trojuholník a často sa používa v dlaždičkach, dopravných značkách a stavbách. Patrí zároveň aj medzi rovnoramenné, lebo má rovnaké strany.

7. Rovnoramenný trojuholník — má dve strany rovnako dlhé, ktoré voláme ramená, a tretiu stranu nazývame základňa. Uhly pri základni sú vždy rovnako veľké. Tento tvar je súmerný — po preložení na polovicu sa obe časti presne prekryjú.

8. Delenie podľa uhlov — podľa veľkosti uhlov rozoznávame tri druhy. Ostrouhlý má všetky tri uhly menšie ako 90°, pravouhlý má jeden uhol presne 90° (pravý uhol) a tupouhlý má jeden uhol väčší ako 90°. Trojuholník nemôže mať dva pravé alebo dva tupé uhly, lebo by prekročil súčet 180°.

9. Pravouhlý trojuholník — má jeden uhol presne 90°. Dve strany, ktoré tento pravý uhol zvierajú, sa nazývajú odvesny a najdlhšia strana oproti pravému uhlu je prepona. Tento trojuholník je veľmi dôležitý v stavebníctve a meraní, pretože pravý uhol je základ kolmosti.

10. Obvod trojuholníka — obvod je dĺžka celej hranice trojuholníka, teda súčet dĺžok všetkých troch strán. Vypočítame ho podľa vzorca o = a + b + c. Výsledok udávame v jednotkách dĺžky (mm, cm, dm, m) a hovorí nám, aký dlhý plot či pásik by sme potrebovali na obkreslenie útvaru.

11. Obvod rovnostranného trojuholníka — keďže má všetky strany rovnaké, jeho obvod vieme vypočítať aj kratšie ako o = 3 · a, čo je trojnásobok jednej strany. Napríklad pri strane 5 cm je obvod 3 · 5 = 15 cm. Takéto skrátené vzorce nám šetria čas pri počítaní.

12. Rysovanie trojuholníka — trojuholník rysujeme pomocou pravítka a kružidla, pričom najčastejšie poznáme dĺžky strán. Postup: narysujeme jednu stranu, z jej koncov opíšeme kružidlom oblúky s dĺžkami zvyšných dvoch strán a ich priesečník je tretí vrchol. Pred rysovaním vždy overíme trojuholníkovú nerovnosť a každý hotový náčrt si poriadne označíme písmenami.

1. Poučka

Trojuholník je rovinný útvar, ktorý má tri strany, tri vrcholy a tri vnútorné uhly. Súčet veľkostí jeho vnútorných uhlov je vždy 180°. Obvod trojuholníka vypočítame ako súčet dĺžok jeho troch strán: o = a + b + c.

2. Vysvetlenie

Trojuholník si predstav ako tri body (vrcholy), ktoré spojíš tromi úsečkami (strany).

• Vrcholy označujeme veľkými písmenami: A, B, C.
• Strany označujeme malými písmenami: strana a leží oproti vrcholu A, strana b oproti B, strana c oproti C.
• Uhly sú pri vrcholoch: α (alfa) pri A, β (beta) pri B, γ (gama) pri C.

Triedenie podľa strán: - rovnostranný — všetky tri strany rovnako dlhé, - rovnoramenný — dve strany rovnako dlhé, - rôznostranný — všetky tri strany rôzne dlhé.

Triedenie podľa uhlov: - ostrouhlý — všetky tri uhly sú ostré (menšie ako 90°), - pravouhlý — jeden uhol je pravý (presne 90°), - tupouhlý — jeden uhol je tupý (väčší ako 90°).

Ako narysovať trojuholník (keď poznáš tri strany): 1. Narysuj jednu stranu, napr. c = AB, a označ vrcholy A a B. 2. Kružidlom z bodu A narysuj oblúk s polomerom dĺžky strany b. 3. Kružidlom z bodu B narysuj oblúk s polomerom dĺžky strany a. 4. Priesečník oblúkov je vrchol C. Spoj C s A a B.

Obvod spočítaš jednoducho: sčítaš dĺžky všetkých troch strán.

3. Príklady a prečo je to dôležité

Príklad 1 — výpočet obvodu: Trojuholník má strany a = 5 cm, b = 7 cm, c = 4 cm. Vypočítaj jeho obvod.
Obvod je súčet dĺžok všetkých troch strán: o = a + b + c
Dosadíme: o = 5 + 7 + 4
o = 16 cm
Výsledok: o = 16 cm

Príklad 2 — rovnostranný trojuholník: Rovnostranný trojuholník má stranu 6 cm. Aký má obvod? A akú stranu má rovnostranný trojuholník s obvodom 24 cm?
Všetky tri strany sú rovnaké: o = 6 + 6 + 6 = 3 · 6 = 18 cm
Opačne: obvod rozdelíme na 3 rovnaké strany, 24 : 3 = 8 cm
Výsledok → obvod je 18 cm, strana druhého trojuholníka je 8 cm

Príklad 3 — triedenie podľa strán: Urči druh trojuholníkov so stranami 5 cm, 5 cm, 5 cm; 4 cm, 4 cm, 6 cm a 3 cm, 4 cm, 5 cm.
5 cm, 5 cm, 5 cm: všetky strany rovnaké, je to rovnostranný trojuholník.
4 cm, 4 cm, 6 cm: dve strany rovnaké, je to rovnoramenný trojuholník.
3 cm, 4 cm, 5 cm: všetky strany rôzne, je to rôznostranný trojuholník.
Výsledok → rovnostranný, rovnoramenný, rôznostranný

Príklad 4 — triedenie podľa uhlov: Trojuholník má uhly 90°, 60° a 30°. Druhý má uhly 100°, 50° a 30°. Aké sú to trojuholníky?
Kontrola súčtu: 90° + 60° + 30° = 180° a 100° + 50° + 30° = 180° ✓
Prvý má jeden pravý uhol (90°) → pravouhlý
Druhý má jeden tupý uhol (100° je viac ako 90°) → tupouhlý
Výsledok → prvý je pravouhlý, druhý tupouhlý

Príklad 5 — rysovanie z troch strán: Narysuj trojuholník ABC so stranami a = 5 cm, b = 4 cm, c = 6 cm.
Narysuj stranu c: úsečku AB dlhú 6 cm.
Kružidlom z bodu A narysuj oblúk s polomerom b = 4 cm.
Kružidlom z bodu B narysuj oblúk s polomerom a = 5 cm.
Priesečník oblúkov označ C a spoj ho s bodmi A a B.
Obvod narysovaného trojuholníka: 6 + 4 + 5 = 15 cm
Výsledok → trojuholník ABC s obvodom 15 cm

Príklad 6 — z praxe, plot: Záhradka má tvar trojuholníka so stranami 12 m, 9 m a 15 m. Koľko metrov pletiva treba na oplotenie?
Pletivo ide okolo celej záhradky, hľadáme obvod.
o = 12 + 9 + 15 = 36 m
Výsledok → treba 36 m pletiva

Príklad 7 — z praxe, stavba: Prečo majú strechy, mosty, žeriavy aj stojany na bicykel časti v tvare trojuholníka?
Ak spojíš tri latky do trojuholníka, tvar sa nedá zatlačením zmeniť. Štvorec z latiek sa dá ľahko „zošikmiť".
Výsledok → trojuholník je najpevnejší a najstabilnejší tvar

Prečo je to dôležité: Trojuholníky sú okolo nás — v moste, žeriave, streche, pyramíde aj v stožiari. Vďaka svojej pevnosti ich používajú stavitelia a konštruktéri. Keď vieš trojuholník narysovať, roztriediť a vypočítať jeho obvod, dokážeš vyriešiť praktické úlohy ako koľko materiálu treba na ohradenie pozemku alebo akú dĺžku má rám.

Precvič si

1. Vypočítaj obvod trojuholníka so stranami 8 cm, 6 cm a 5 cm.
2. Rovnostranný trojuholník má stranu 9 cm. Aký má obvod?
3. Rovnoramenný trojuholník má ramená po 7 cm a základňu 4 cm. Aký má obvod?
4. Urči podľa uhlov: trojuholník s uhlami 40°, 50°, 90° a trojuholník s uhlami 30°, 30°, 120°.
5. Trojuholník má dva uhly 70° a 40°. Aký veľký je tretí uhol?
6. Z drôtu dlhého 90 cm chceš ohnúť rovnostranný trojuholník. Akú dlhú stranu bude mať?