Trojuholník Nezačaté

0. Kľúčové fakty

1. Trojuholník — Trojuholník je rovinný útvar ohraničený tromi úsečkami (stranami), ktoré spájajú tri body neležiace na jednej priamke. Tieto body voláme vrcholy a označujeme ich veľkými písmenami A, B, C. Je to najjednoduchší mnohouholník, lebo má najmenší možný počet strán — tri.

2. Vrcholy, strany a uhly — Každý trojuholník má tri vrcholy (A, B, C), tri strany (a, b, c) a tri vnútorné uhly (α, β, γ). Strana sa označuje malým písmenom podľa vrcholu, ktorý leží oproti nej — strana a je oproti vrcholu A. Uhol pri vrchole A označujeme gréckym písmenom α (alfa), pri B β (beta) a pri C γ (gama).

3. Súčet vnútorných uhlov — Súčet veľkostí všetkých troch vnútorných uhlov v každom trojuholníku je vždy presne 180°. Platí teda α + β + γ = 180°. Toto pravidlo je veľmi dôležité, lebo ak poznáme dva uhly, tretí vždy ľahko dopočítame: napríklad ak α = 60° a β = 70°, tak γ = 180° − 60° − 70° = 50°.

4. Trojuholníková nerovnosť — Súčet dĺžok ľubovoľných dvoch strán trojuholníka musí byť vždy väčší ako dĺžka tretej strany. Musia platiť všetky tri podmienky naraz: a + b > c, a + c > b a b + c > a. Ak čo i len jedna z nich neplatí, taký trojuholník sa nedá zostrojiť — strany by sa „nestretli". Napríklad zo strán 2 cm, 3 cm a 8 cm trojuholník nezostavíme, lebo 2 + 3 = 5 nie je viac ako 8.

5. Delenie podľa strán — Podľa dĺžok strán rozlišujeme tri druhy: rovnostranný (všetky tri strany rovnako dlhé), rovnoramenný (dve strany rovnako dlhé) a rôznostranný (všetky tri strany rôzne dlhé). Toto delenie nám pomáha rýchlo opísať vlastnosti trojuholníka. Rovnostranný trojuholník je zároveň aj rovnoramenný, lebo má dokonca tri rovnaké strany.

6. Rovnostranný trojuholník — Rovnostranný trojuholník má všetky tri strany rovnako dlhé a zároveň všetky tri vnútorné uhly rovnaké — každý má 60° (lebo 180° : 3 = 60°). Je dokonale súmerný a má tri osi súmernosti. Vďaka pravidelnosti sa často používa v geometrii aj v praxi, napríklad v dopravných značkách.

7. Rovnoramenný trojuholník — Rovnoramenný trojuholník má dve strany rovnako dlhé, ktoré voláme ramená, a tretiu stranu voláme základňa. Uhly pri základni sú rovnako veľké. Má jednu os súmernosti, ktorá prechádza vrcholom medzi ramenami a stredom základne.

8. Delenie podľa uhlov — Podľa veľkosti uhlov delíme trojuholníky na ostrouhlý (všetky tri uhly sú ostré, teda menšie ako 90°), pravouhlý (jeden uhol má presne 90°) a tupouhlý (jeden uhol je tupý, teda väčší ako 90°). V každom trojuholníku môže byť najviac jeden uhol pravý alebo tupý, lebo súčet uhlov je len 180°. Toto delenie sa dá kombinovať s delením podľa strán.

9. Pravouhlý trojuholník a prepona — Pravouhlý trojuholník má jeden vnútorný uhol s veľkosťou presne 90°. Strana ležiaca oproti pravému uhlu je najdlhšia a voláme ju prepona, zvyšné dve strany sú odvesny. Tento typ trojuholníka je veľmi dôležitý v geometrii, lebo sa od neho odvíja mnoho ďalších poučiek a meraní.

10. Zostrojenie trojuholníka (sss) — Trojuholník vieme zostrojiť, ak poznáme dĺžky všetkých troch strán (prípad sss — strana, strana, strana). Najprv narysujeme jednu stranu, potom z jej koncov kružidlom narysujeme oblúky s polomermi zvyšných dvoch strán a ich priesečník je tretí vrchol. Pred rysovaním vždy overíme trojuholníkovú nerovnosť, aby sme vedeli, či sa trojuholník dá vôbec zostrojiť.

11. Ďalšie spôsoby zostrojenia (sus, usu) — Okrem troch strán vieme trojuholník zostrojiť aj z dvoch strán a uhla medzi nimi (sus — strana, uhol, strana) alebo z jednej strany a dvoch uhlov pri nej (usu — uhol, strana, uhol). Pri rysovaní používame pravítko, kružidlo a uhlomer. Správny postup a presné rysovanie sú dôležité, aby výsledný trojuholník zodpovedal zadaným údajom.

12. Obvod trojuholníka — Obvod trojuholníka je súčet dĺžok všetkých jeho troch strán a počítame ho podľa vzorca o = a + b + c. Obvod udávame v jednotkách dĺžky, napríklad v centimetroch (cm) alebo metroch (m). Pri rovnostrannom trojuholníku stačí jednu stranu vynásobiť tromi: o = 3 · a.

13. Výška trojuholníka — Výška trojuholníka je kolmá vzdialenosť vrcholu od protiľahlej strany. Každý trojuholník má tri výšky a všetky tri sa pretínajú v jednom bode, ktorý voláme priesečník výšok. Výška je dôležitá najmä pri výpočte obsahu trojuholníka.

1. Poučka

Trojuholník je rovinný útvar, ktorý má tri vrcholy, tri strany a tri vnútorné uhly. Súčet veľkostí jeho vnútorných uhlov je vždy 180°.

Trojuholníková nerovnosť: Súčet dĺžok ľubovoľných dvoch strán je vždy väčší ako dĺžka tretej strany. Trojuholník zostrojíme len vtedy, ak platí: a + b > c, a + c > b, b + c > a.

2. Vysvetlenie

Trojuholník delíme dvoma spôsobmi:

Podľa strán: - rovnostranný — všetky tri strany rovnako dlhé (aj všetky uhly majú 60°), - rovnoramenný — dve strany (ramená) rovnako dlhé, - rôznostranný — všetky tri strany rôzne dlhé.

Podľa uhlov: - ostrouhlý — všetky tri uhly sú ostré (menšie ako 90°), - pravouhlý — jeden uhol má presne 90°, - tupouhlý — jeden uhol je tupý (väčší ako 90°).

Ako zostrojíme trojuholník (napr. zo strán a, b, c): 1. Najprv overíme trojuholníkovú nerovnosť — či sa dá vôbec zostrojiť. 2. Narysujeme jednu stranu, napr. c, a označíme vrcholy A a B. 3. Z bodu A narysujeme kružnicový oblúk s polomerom b, z bodu B oblúk s polomerom a. 4. Priesečník oblúkov je vrchol C. Spojíme body a trojuholník je hotový.

3. Príklady a prečo je to dôležité

Príklad 1 — trojuholníková nerovnosť: Dá sa zostrojiť trojuholník so stranami 3 cm, 4 cm, 8 cm? A so stranami 4 cm, 5 cm, 6 cm?
Stačí overiť, či súčet dvoch kratších strán je väčší ako najdlhšia strana.
3, 4, 8: 3 + 4 = 7, čo je menej ako 8, kratšie strany „nedosiahnu" k sebe.
4, 5, 6: 4 + 5 = 9, čo je viac ako 6, nerovnosť platí.
Výsledok → 3, 4, 8 cm sa nedá, 4, 5, 6 cm sa dá

Príklad 2 — tretí uhol a druh trojuholníka: V trojuholníku sú dva uhly 70° a 50°. Vypočítaj tretí uhol a urči druh trojuholníka podľa uhlov.
Súčet uhlov je 180°: 180° − 70° − 50° = 60°
Uhly 70°, 50° a 60° sú všetky menšie ako 90°, všetky sú ostré.
Výsledok → tretí uhol je 60°, trojuholník je ostrouhlý

Príklad 3 — druh podľa strán aj uhlov: Trojuholník má strany 5 cm, 5 cm, 7 cm a uhly 90°, 45°, 45°. Pomenuj ho.
Podľa strán: dve strany sú rovnaké (5 cm), je rovnoramenný.
Podľa uhlov: jeden uhol má 90°, je pravouhlý.
Výsledok → rovnoramenný pravouhlý trojuholník

Príklad 4 — konštrukcia zo strán: Zostroj trojuholník ABC so stranami a = 5 cm, b = 4 cm, c = 6 cm.
Overíme nerovnosť: 5 + 4 = 9 > 6, trojuholník sa dá zostrojiť.
Narysujeme stranu c: úsečku AB dlhú 6 cm.
Z bodu A narysujeme oblúk s polomerom b = 4 cm, z bodu B oblúk s polomerom a = 5 cm.
Priesečník oblúkov označíme C a spojíme ho s bodmi A a B.
Výsledok → trojuholník ABC s obvodom 5 + 4 + 6 = 15 cm

Príklad 5 — najdlhšia možná strana: Trojuholník má strany a = 5 cm a b = 8 cm. Akú najväčšiu a najmenšiu celočíselnú dĺžku v cm môže mať strana c?
Strana c musí byť kratšia ako a + b = 13 cm, teda najviac 12 cm.
Zároveň musí platiť a + c > b, teda 5 + c > 8, c musí byť väčšie ako 3 cm, teda aspoň 4 cm.
Výsledok → c je najviac 12 cm a najmenej 4 cm

Príklad 6 — z praxe, rám z líšt: Tesár má latky dlhé 1 m, 1 m a 2,5 m. Dá sa z nich zbiť trojuholníkový rám?
Dve kratšie latky: 1 + 1 = 2 m
Najdlhšia latka má 2,5 m, a 2 m je menej ako 2,5 m, nerovnosť neplatí.
Výsledok → rám sa zbiť nedá, kratšie latky sa nestretnú

Prečo je to dôležité: Trojuholník je najpevnejší geometrický tvar, preto ho nájdeš v žeriavoch, mostoch, krovoch striech aj v bicykli. Vďaka súčtu uhlov 180° a trojuholníkovej nerovnosti vieme dopredu povedať, či sa útvar dá vôbec zostrojiť, a vieme dopočítať chýbajúce údaje.

Precvič si

1. Dá sa zostrojiť trojuholník so stranami 4 cm, 7 cm, 10 cm?
2. Dá sa zostrojiť trojuholník so stranami 2 cm, 3 cm, 6 cm?
3. V trojuholníku sú uhly 48° a 42°. Vypočítaj tretí uhol a urči druh trojuholníka podľa uhlov.
4. Aké veľké sú uhly v rovnostrannom trojuholníku?
5. Rovnoramenný trojuholník má uhol pri hlavnom vrchole 40°. Aké veľké sú uhly pri základni?
6. Trojuholník má strany 2 cm a 9 cm. Aké celočíselné dĺžky v cm môže mať tretia strana?