Uhol a jeho veľkosť Nezačaté

0. Kľúčové fakty

1. Uhol — Uhol je geometrický útvar, ktorý vznikne, keď z jedného bodu (vrcholu) vychádzajú dve polpriamky, nazývané ramená uhla. Vrchol uhla označujeme veľkým písmenom (napr. V) a celý uhol zapisujeme symbolom ∠, napríklad ∠AVB, pričom písmeno vrcholu je vždy v strede. Uhol vyjadruje veľkosť otvorenia medzi dvoma ramenami, nie ich dĺžku.

2. Stupeň (°) — Základnou jednotkou na meranie veľkosti uhla je uhlový stupeň, ktorý označujeme malým krúžkom °. Plný uhol (celá otáčka okolo bodu) má 360°, čo je číslo, ktoré si zaviedli už starovekí Babylončania podľa približného počtu dní v roku. Jeden stupeň sa ďalej delí na 60 uhlových minút, ale na základnej škole pracujeme najmä s celými stupňami.

3. Uhlomer — Uhlomer je polkruhový alebo kruhový nástroj s vyznačenou stupnicou od 0° do 180° (alebo do 360°), ktorým uhly meriame aj rysujeme. Stred uhlomera priložíme presne na vrchol uhla a jeho základnú čiaru (nulovú os) na jedno rameno; veľkosť odčítame tam, kde druhé rameno pretne stupnicu. Uhlomer má zvyčajne dve stupnice (vnútornú a vonkajšiu), preto treba dávať pozor, z ktorej čítame — vždy začíname od nuly na ramene.

4. Ostrý uhol — Ostrý uhol je každý uhol, ktorý je menší ako 90°, teda jeho veľkosť patrí do rozsahu od 0° do 90°. Je „špicatý", ramená sú blízko seba, a stretávame ho napríklad pri hrotoch hviezdy alebo vo vrcholoch rovnostranného trojuholníka (60°). Rozlišovanie druhov uhlov podľa veľkosti je dôležité pri opisovaní a rysovaní geometrických útvarov.

5. Pravý uhol — Pravý uhol má presne 90° a tvoria ho dve navzájom kolmé ramená. Označujeme ho malým štvorčekom vo vrchole namiesto oblúčika a stretávame ho na každom rohu zošita, dverí, okna či štvorca. Pravý uhol je dôležitý referenčný bod, lebo podľa neho rozdeľujeme uhly na ostré (menšie) a tupé (väčšie).

6. Tupý uhol — Tupý uhol je väčší ako 90°, ale menší ako 180°, teda jeho veľkosť je v rozsahu od 90° do 180°. Jeho ramená sú viac „roztvorené" než pri pravom uhle, no ešte netvoria priamku. Príkladom je rozovretá kniha položená naplocho alebo strecha domu s miernym sklonom.

7. Priamy uhol — Priamy uhol má presne 180°, jeho ramená ležia v jednej priamke a smerujú na opačné strany od vrcholu. Predstavuje polovicu plnej otáčky a vyzerá ako rovná čiara s vyznačeným vrcholom v strede. Je hraničným prípadom medzi tupým a nekonvexným uhlom a často sa využíva pri sčítavaní uhlov.

8. Nekonvexný (vypuklý) uhol — Nekonvexný uhol je väčší ako 180° a menší ako 360°, teda predstavuje viac než polovicu otáčky. Pri jeho meraní uhlomerom musíme zmerať menší (konvexný) uhol a jeho veľkosť odčítať od 360°. Tento druh uhla žiakom ukazuje, že priestor okolo bodu má vždy dokopy 360°.

9. Rysovanie uhla danej veľkosti — Pri rysovaní uhla najprv narysujeme jedno rameno a vyznačíme vrchol, potom priložíme uhlomer stredom na vrchol a nulou na rameno. Na stupnici nájdeme požadovaný počet stupňov (napr. 50°), urobíme značku a od vrcholu cez ňu vedieme druhé rameno pravítkom. Presné priloženie uhlomera je kľúčové — aj malý posun stredu mimo vrcholu spôsobí chybu merania.

10. Sčítavanie a odčítavanie uhlov — Veľkosti uhlov sa dajú sčítavať a odčítavať rovnako ako bežné čísla, len výsledok vyjadrujeme v stupňoch (napr. 30° + 45° = 75°). Pri počítaní so stupňami a minútami platí, že 60 minút sa rovná 1 stupňu, takže pri prechode cez túto hranicu prevádzame podobne ako pri čase. Sčítavanie uhlov využívame napríklad, keď je veľký uhol rozdelený ramenom na dva menšie uhly, ktorých súčet dáva celok.

11. Susedné a vrcholové uhly — Keď sa pretnú dve priamky, vzniknú štyri uhly; uhly oproti sebe (vrcholové) majú rovnakú veľkosť a uhly vedľa seba (susedné) dávajú spolu 180°. Tieto vzťahy pomáhajú dopočítať veľkosť uhla bez merania, len na základe znalosti jedného z nich. Patrí to medzi prvé pravidlá, ktoré z geometrie uhlov robia logickú a vypočítateľnú tému.

12. Os uhla — Os uhla je polpriamka vychádzajúca z vrcholu, ktorá rozdeľuje uhol na dva zhodné (rovnako veľké) uhly. Napríklad os pravého uhla (90°) vytvorí dva uhly po 45°. Os uhla sa dá presne zostrojiť kružidlom a pravítkom a využíva sa v mnohých konštrukčných úlohách v geometrii.

1. Poučka

Uhol je časť roviny ohraničená dvoma polpriamkami, ktoré vychádzajú z jedného spoločného bodu. Tento bod sa volá vrchol uhla a polpriamky sú ramená uhla. Veľkosť uhla meriame v stupňoch (°) pomocou uhlomera. Uhol s vrcholom V a ramenami cez body A a B zapisujeme ako ∢AVB.

2. Vysvetlenie

Predstav si dve ručičky hodín spojené v strede — to je uhol. Čím viac sú ramená od seba „roztvorené", tým väčší je uhol.

Ako odmeriaš uhol uhlomerom: 1. Stred uhlomera (značka 0) polož presne na vrchol uhla. 2. Základňu uhlomera (nulovú čiaru) zarovnaj s jedným ramenom. 3. Pozri sa, cez ktoré číslo prechádza druhé rameno — to je veľkosť uhla. 4. Pozor: uhlomer má dve stupnice (0–180 z oboch strán). Čítaj tú, ktorá začína na 0 pri tvojom ramene.

Druhy uhlov podľa veľkosti: - ostrý uhol: menší ako 90° - pravý uhol: presne 90° - tupý uhol: väčší ako 90° a menší ako 180° - priamy uhol: presne 180°

Veľkosti uhlov vieme sčítať a odčítať ako bežné čísla — len k výsledku pripíšeme °.

3. Príklady a prečo je to dôležité

Príklad 1 — rysovanie uhla danej veľkosti: Narysuj uhol AVB s veľkosťou 65° a urči jeho druh.
Narysujem polpriamku VA.
Stred uhlomera priložím na vrchol V a nulovú čiaru na rameno VA.
Na stupnici, ktorá pri VA začína nulou, nájdem 65 a urobím bod B.
Narysujem polpriamku VB. Keďže 65° je menej ako 90° → uhol je ostrý

Príklad 2 — sčítanie a odčítanie uhlov: Vypočítaj 47° + 68° a 150° − 85°.
Sčítam stupne: 47° + 68° = 115°
Odčítam stupne: 150° − 85° = 65°
Výsledky → 115° a 65°

Príklad 3 — rozdelený uhol: Uhol AVC má 120°. Polpriamka VB ho rozdelí tak, že uhol AVB má 75°. Aký veľký je uhol BVC?
Celý uhol = časť AVB + časť BVC, preto BVC = AVC − AVB
∢BVC = 120° − 75° = 45°

Príklad 4 — skladanie uhlov: Uhol AVB má 35° a hneď vedľa neho je uhol BVC so 40°. Aký veľký je uhol AVC?
Uhly ležia vedľa seba so spoločným ramenom VB, preto ich sčítam.
∢AVC = 35° + 40° = 75°

Príklad 5 — zoradenie a pomenovanie: Zoraď od najmenšieho a pomenuj uhly 120°, 90°, 30°, 180°.
30° je menej ako 90° → ostrý
90° → pravý
120° je medzi 90° a 180° → tupý
180° → priamy
Poradie → 30° (ostrý) < 90° (pravý) < 120° (tupý) < 180° (priamy)

Príklad 6 — z praxe (hodiny): Aký uhol zvierajú ručičky hodín o 5:00?
Celý kruh má 360°, na ciferníku je 12 dielikov: 360° : 12 = 30°
O 5:00 je medzi ručičkami 5 dielikov: 5 · 30° = 150° (tupý uhol)

Prečo je to dôležité: Uhly sú všade — v stavbárstve, navigácii, športe, dizajne aj v prírode. Bez merania uhlov by sa nedali postaviť rovné domy, narysovať mapy ani vyrobiť stroje. Naučiť sa narábať s uhlami ti pomôže presne kresliť, riešiť geometriu a chápať svet okolo seba.

Precvič si

1. Vypočítaj: 25° + 48°.
2. Vypočítaj: 180° − 64°.
3. Vypočítaj: 90° − 37°.
4. Uhol AVC má 135° a polpriamka VB ho delí tak, že uhol AVB má 58°. Aký veľký je uhol BVC?
5. Priamy uhol je rozdelený na tri uhly. Dva z nich majú 45° a 70°. Aký veľký je tretí uhol a aký je to uhol?
6. Aký menší uhol zvierajú ručičky hodín o 7:00?