Riešenie aplikačných a kombinatorických úloh Nezačaté

0. Kľúčové fakty

1. Aplikačná úloha — je to slovná úloha zo skutočného života, napríklad nakupovanie, rozdeľovanie cukríkov či plánovanie cesty. Žiak v nej musí najprv pochopiť, čo sa pýta, vybrať dôležité údaje a až potom počítať. Dôležitá je preto, že ukazuje, na čo sa matematika reálne používa mimo školy.

2. Kombinatorická úloha — je úloha, v ktorej zisťujeme, koľkými spôsobmi sa dá niečo usporiadať, vybrať alebo spojiť. Príkladom je, koľko rôznych zmrzlinových pohárov vieme zostaviť z troch príchutí. Naučí žiaka rozmýšľať systematicky a nezabudnúť na žiadnu možnosť.

3. Systematické vypisovanie možností — znamená, že možnosti zapisujeme v dohodnutom poradí, nie náhodne. Napríklad začneme od najmenšieho čísla alebo od prvého písmena a postupujeme ďalej. Vďaka tomu na nič nezabudneme a žiadnu možnosť nezapíšeme dvakrát, čo je základ správneho riešenia.

4. Strom možností (stromový diagram) — je nákres, ktorý sa vetví ako konáre stromu a zobrazuje všetky možnosti rozhodovania. Z každého bodu vychádzajú čiary k ďalším možnostiam, takže na konci vidíme všetky kombinácie. Pomáha najmä vtedy, keď spájame výber z viacerých skupín, napríklad tričko a nohavice.

5. Tabuľka na usporiadanie údajov — je mriežka s riadkami a stĺpcami, do ktorej prehľadne zapisujeme dvojice alebo dvojstranné porovnania. Napríklad pri kombinovaní dvoch kociek dáme jednu kocku do riadkov a druhú do stĺpcov. Tabuľka spraví úlohu prehľadnou a uľahčí spočítanie všetkých možností.

6. Pravidlo súčinu — ak si vyberáme z dvoch nezávislých skupín, počet všetkých kombinácií zistíme vynásobením počtov v skupinách. Napríklad 3 druhy tričiek · 2 druhy nohavíc = 6 rôznych oblečení. Toto pravidlo je rýchla pomôcka, no v 5. ročníku ho vždy overujeme aj vypísaním možností.

7. Postupnosť (číselný rad) — je usporiadaný rad čísel, ktoré nasledujú za sebou podľa určitého pravidla, napríklad 2, 4, 6, 8. Úlohou žiaka je objaviť pravidlo a doplniť ďalšie členy. Rozvíja to logické myslenie a schopnosť hľadať zákonitosti, ktoré sa neskôr využijú v algebre.

8. Pravidlo postupnosti — je vzťah, ktorý hovorí, ako z jedného člena získame nasledujúci, napríklad „pripočítaj 3" alebo „vynásob 2". Keď pravidlo nájdeme, vieme predpovedať aj členy, ktoré nie sú napísané. Hľadanie pravidla je dôležitá zručnosť, lebo nás učí všímať si opakujúce sa vzory.

9. Rozdiel medzi rastúcou a klesajúcou postupnosťou — rastúca postupnosť má čísla, ktoré sa postupne zväčšujú (3, 6, 9, 12), klesajúca má čísla, ktoré sa zmenšujú (20, 16, 12, 8). Podľa smeru zmeny vieme určiť, či pripočítavame alebo odpočítavame. Toto rozlíšenie pomáha rýchlo odhadnúť pravidlo radu.

10. Kontrola úplnosti riešenia — po vypísaní možností si vždy overíme, či sme našli všetky a žiadnu neopakujeme. Pomáha spočítať možnosti dvoma spôsobmi, napríklad vypísaním aj pravidlom súčinu, a porovnať výsledky. Kontrola je dôležitá, lebo v kombinatorike je ľahké na niektorú možnosť zabudnúť.

11. Odhad a kontrola výsledku v aplikačných úlohách — pred počítaním si odhadneme, aký približný výsledok očakávame, a po výpočte ho s odhadom porovnáme. Ak je výsledok úplne mimo odhadu, pravdepodobne sme spravili chybu. Žiaka to učí, že výsledok má dávať v reálnej situácii zmysel, napríklad že počet ľudí nemôže byť záporný.

12. Premena jednotiek a dôležité údaje — v aplikačných úlohách často pracujeme s rôznymi jednotkami (centy a eurá, minúty a hodiny, gramy a kilogramy), ktoré treba pred počítaním zjednotiť. Dôležité je vyznačiť si v texte čísla a slová „spolu", „o koľko viac", „koľkokrát". Správne prečítanie zadania je polovica úspechu pri riešení úlohy.

1. Poučka

Aplikačná úloha je slovná úloha zo života, ktorú vyriešime tak, že si údaje usporiadame (do tabuľky alebo diagramu) a postupne dopočítame, čo treba. Kombinatorická úloha sa pýta, koľkými spôsobmi sa niečo dá urobiť alebo poskladať. Riešime ju tak, že systematicky (podľa poriadku) vypíšeme všetky možnosti a nezabudneme na žiadnu a žiadnu nezopakujeme.

2. Vysvetlenie

Postupuj po krokoch: 1. Prečítaj zadanie a zisti, na čo sa pýta. 2. Vypíš údaje — čo vieš a čo máš nájsť. Pomôže ti tabuľka alebo náčrt. 3. Pri kombinatorike vypisuj možnosti systematicky — napríklad od najmenšieho čísla, podľa abecedy alebo „necháme prvý prvok pevný a meníme druhý". 4. Pri postupnostiach hľadaj pravidlo — o koľko sa čísla zväčšujú alebo zmenšujú, prípadne čím sa násobia. 5. Spočítaj možnosti a skontroluj, či si na niektorú nezabudol a žiadnu nemáš dvakrát.

3. Príklady a prečo je to dôležité

Príklad 1 — systematické vypisovanie: Z číslic 1, 2, 3 máme vytvoriť všetky dvojciferné čísla, v ktorých sa číslice neopakujú. Koľko ich je?
Necháme prvú číslicu pevnú a meníme druhú:
na začiatku 1: 12, 13
na začiatku 2: 21, 23
na začiatku 3: 31, 32
Spočítame: 2 + 2 + 2 = 6 čísel

Príklad 2 — kombinácie oblečenia: Maťo má 2 tričká (modré, zelené) a 3 nohavice (rifle, tepláky, kraťasy). Koľkými spôsobmi sa môže obliecť?
Každé tričko spojíme s každými nohavicami:
modré tričko: s riflami, s teplákmi, s kraťasmi (3 možnosti)
zelené tričko: s riflami, s teplákmi, s kraťasmi (3 možnosti)
Spolu: 3 + 3 = 2 · 3 = 6 oblečení

Príklad 3 — pravidlo v postupnosti: Doplň ďalšie tri členy postupnosti 3, 6, 9, 12, … a napíš pravidlo.
Rozdiely susedných čísel: 6 − 3 = 3, 9 − 6 = 3, 12 − 9 = 3
Pravidlo: každé ďalšie číslo je o 3 väčšie.
12 + 3 = 15, 15 + 3 = 18, 18 + 3 = 21
Výsledok → ďalšie členy sú 15, 18, 21

Príklad 4 — podanie rúk: Štyria kamaráti A, B, C, D si podajú ruku každý s každým. Koľko podaní rúk to bude?
Vypíšeme dvojice podľa poriadku a žiadnu nezopakujeme (A-B je to isté ako B-A):
A: A-B, A-C, A-D
B: B-C, B-D (B-A už máme)
C: C-D
Spolu: 3 + 2 + 1 = 6 podaní rúk

Príklad 5 — údaje z tabuľky v praxi: V 5. A je 12 chlapcov a 13 dievčat, v 5. B je 14 chlapcov a 10 dievčat. Koľko žiakov je v oboch triedach spolu a o koľko viac žiakov má 5. A?
Údaje si zapíšeme prehľadne po triedach:
Trieda 5. A: 12 + 13 = 25 žiakov
Trieda 5. B: 14 + 10 = 24 žiakov
Spolu: 25 + 24 = 49, rozdiel: 25 − 24 = 1
Výsledok → spolu 49 žiakov, 5. A má o 1 žiaka viac

Prečo je to dôležité: takto rozmýšľame aj v bežnom živote — keď plánujeme cesty, vyberáme jedlo z menu, počítame možnosti hesla, robíme rozvrh alebo porovnávame ceny. Systematické vypisovanie a tabuľky nám pomáhajú nezabudnúť na žiadnu možnosť a neurobiť chybu.

Precvič si

1. Z číslic 5, 7, 9 vypíš všetky trojciferné čísla, v ktorých sa číslice neopakujú. Koľko ich je?
2. Doplň ďalšie tri členy postupnosti 2, 4, 8, 16, … Aké je pravidlo?
3. V cukrárni majú 3 príchute zmrzliny a 2 druhy kornútkov. Koľkými spôsobmi si môžeš vybrať jednu príchuť a jeden kornútok?
4. Päť kamarátov si podá ruku každý s každým. Koľko podaní rúk to bude?
5. Doplň ďalšie tri členy postupnosti 50, 45, 40, … Aké je pravidlo?
6. Ema čítala knihu: v pondelok prečítala 12 strán, v utorok 15 strán a v stredu 9 strán. Koľko strán prečítala spolu a o koľko viac v utorok ako v stredu?