Zlomky a ich vlastnosti Nezačaté

0. Kľúčové fakty

1. Zlomok — Zlomok je číslo, ktoré vyjadruje časť celku alebo podiel dvoch čísel. Zapisuje sa v tvare a/b, kde písmeno a je čitateľ (hovorí, koľko častí berieme) a písmeno b je menovateľ (hovorí, na koľko rovnakých častí sme celok rozdelili). Napríklad 3/4 znamená, že celok sme rozdelili na 4 rovnaké časti a berieme z nich 3.

2. Čitateľ a menovateľ — Čitateľ stojí nad zlomkovou čiarou a menovateľ pod ňou. Menovateľ nikdy nesmie byť nula, pretože celok nemožno deliť na nula častí — delenie nulou nie je definované. Zlomková čiara má zároveň význam delenia, takže 3/4 je to isté ako 3 : 4.

3. Zlomková čiara ako delenie — Každý zlomok je vlastne zápis delenia: čitateľ delíme menovateľom. Preto napríklad 6/2 = 3 a 1/2 = 0,5. Toto prepojenie je dôležité, lebo umožňuje premieňať zlomky na desatinné čísla a naopak.

4. Pravý a nepravý zlomok — Pravý zlomok má čitateľa menšieho ako menovateľa (napr. 2/5) a jeho hodnota je menšia ako 1. Nepravý zlomok má čitateľa väčšieho alebo rovného menovateľovi (napr. 7/4) a jeho hodnota je väčšia alebo rovná 1. Nepravý zlomok sa dá zapísať aj ako zmiešané číslo, napríklad 7/4 = 1 3/4.

5. Krátenie zlomku — Krátenie znamená, že čitateľa aj menovateľa vydelíme tým istým číslom (spoločným deliteľom). Hodnota zlomku sa pritom nezmení, mení sa len jeho zápis — napríklad 6/8 = 3/4 (po vydelení dvomi). Krátenie používame, aby sme zlomok zapísali čo najjednoduchšie.

6. Základný tvar zlomku — Zlomok je v základnom tvare, keď sa už nedá ďalej krátiť, teda čitateľ a menovateľ nemajú spoločného deliteľa väčšieho ako 1 (sú nesúdeliteľné). Napríklad 3/4 je v základnom tvare, ale 6/8 nie je. Najrýchlejšie sa do základného tvaru dostaneme delením najväčším spoločným deliteľom.

7. Rozširovanie zlomku — Rozširovanie je opak krátenia: čitateľa aj menovateľa vynásobíme tým istým číslom rôznym od nuly. Hodnota zlomku ostáva rovnaká, napríklad 1/2 = 2/4 = 5/10. Rozširovanie je nevyhnutné, keď chceme zlomky previesť na spoločného menovateľa.

8. Zlomky rovnakej hodnoty — Rôzne zápisy ako 1/2, 2/4, 3/6 a 50/100 vyjadrujú to isté číslo, len sú rozšírené alebo skrátené. Hovoríme im rovnaké (ekvivalentné) zlomky. Toto je kľúčové pri porovnávaní a sčítaní zlomkov.

9. Spoločný menovateľ — Aby sme mohli zlomky porovnávať alebo sčítať, potrebujú mať rovnaký menovateľ. Nájdeme spoločný násobok pôvodných menovateľov (najvýhodnejšie najmenší spoločný násobok) a každý zlomok naň rozšírime. Napríklad pri 1/2 a 1/3 je spoločný menovateľ 6, takže dostaneme 3/6 a 2/6.

10. Porovnávanie zlomkov — Ak majú zlomky rovnaký menovateľ, väčší je ten s väčším čitateľom (napr. 3/7 > 2/7). Ak majú rovnaký čitateľ, väčší je ten s menším menovateľom, lebo celok sme rozdelili na menej častí (napr. 1/3 > 1/5). V ostatných prípadoch zlomky najprv prevedieme na spoločného menovateľa a potom porovnáme čitateľov.

11. Premena zlomku na desatinné číslo — Zlomok premeníme na desatinné číslo tak, že čitateľa vydelíme menovateľom. Napríklad 3/4 = 3 : 4 = 0,75 a 1/5 = 0,2. Niektoré zlomky dávajú konečné desatinné číslo, iné periodické (napr. 1/3 = 0,333…), čo súvisí s tým, či sa menovateľ dá rozložiť len na číslo 2 a 5.

12. Zlomok na číselnej osi — Každý zlomok má svoje presné miesto na číselnej osi medzi celými číslami. Napríklad 1/2 leží presne v strede medzi 0 a 1 a 5/4 leží medzi 1 a 2. Znázornenie na osi pomáha pochopiť veľkosť zlomku a uľahčuje porovnávanie.

13. Zmiešané číslo — Zmiešané číslo sa skladá z celej časti a zlomkovej časti, napríklad 2 1/3 (dva a jedna tretina). Je to len iný zápis nepravého zlomku, lebo 2 1/3 = 7/3. Tento tvar je názornejší, keď chceme rýchlo vidieť, koľko celkov a koľko zvyšku máme.

1. Poučka

Zlomok je zápis v tvare a/b, ktorý vyjadruje časť celku. Číslo a sa volá čitateľ (hovorí, koľko častí berieme) a číslo b je menovateľ (hovorí, na koľko rovnakých častí sme celok rozdelili). Menovateľ nesmie byť nula.

• Krátenie: čitateľa aj menovateľa vydelíme tým istým číslom (rôznym od nuly) — hodnota zlomku sa nezmení.
• Rozširovanie: čitateľa aj menovateľa vynásobíme tým istým číslom — hodnota zlomku sa nezmení.
• Porovnávanie: zlomky s rovnakým menovateľom porovnáme podľa čitateľa; s rôznym menovateľom ich najprv prevedieme na spoločného menovateľa.
• Premena na desatinné číslo: čitateľa vydelíme menovateľom (a : b).

2. Vysvetlenie

Predstav si pizzu rozdelenú na 8 rovnakých kúskov. Ak zješ 3 kúsky, zjedol si 3/8 pizze. Menovateľ 8 = na koľko častí je celok rozdelený, čitateľ 3 = koľko si vzal.

Postupuj takto: 1. Krátiš? Nájdi číslo, ktorým sa dá deliť čitateľ aj menovateľ. Napríklad 6/8: obidve delíme 2 → 3/4. 2. Rozširuješ? Vynásob obe čísla rovnakým číslom. Napríklad 3/4 rozšírime 5-timi → 15/20. 3. Porovnávaš? Sprav rovnaký menovateľ. Pri 2/3 a 3/4 je spoločný menovateľ 12 → 8/12 a 9/12, takže 3/4 je viac. 4. Chceš desatinné číslo? Vydeľ čitateľa menovateľom: 3/4 = 3 : 4 = 0,75.

3. Príklady a prečo je to dôležité

Príklad 1 — krátenie zlomku: Skráť zlomok 12/18 na základný tvar.
Najväčší spoločný deliteľ čísel 12 a 18 je 6.
Čitateľa aj menovateľa vydelíme 6: 12 : 6 = 2 a 18 : 6 = 3
Základný tvar: 12/18 = 2/3

Príklad 2 — rozšírenie na daného menovateľa: Rozšír zlomok 2/5 tak, aby mal menovateľ 20.
Zistíme, koľkokrát je 20 väčšie ako 5: 20 : 5 = 4
Čitateľa aj menovateľa vynásobíme 4: 2 · 4 = 8 a 5 · 4 = 20
Rozšírený zlomok: 2/5 = 8/20

Príklad 3 — porovnávanie zlomkov: Ktorý zlomok je väčší: 5/6 alebo 7/9?
Spoločný menovateľ je 18 (najmenší spoločný násobok 6 a 9).
5/6 = 15/18 (rozšírili sme 3) a 7/9 = 14/18 (rozšírili sme 2)
Pri rovnakom menovateli rozhoduje čitateľ: 15 je viac ako 14 → 5/6 je väčší

Príklad 4 — premena na desatinné číslo: Preveď zlomok 7/8 na desatinné číslo.
Zlomková čiara znamená delenie: 7 : 8
70 : 8 = 8, zvyšok 6; 60 : 8 = 7, zvyšok 4; 40 : 8 = 5, zvyšok 0
Výsledok: 7/8 = 0,875

Príklad 5 — časť z celku (z praxe): V triede je 32 žiakov a 3/4 z nich chodia do krúžku. Koľko žiakov chodí do krúžku?
Jedna štvrtina: 32 : 4 = 8 žiakov
Tri štvrtiny: 3 · 8 = 24 žiakov

Príklad 6 — zľava (z praxe): Topánky stoja 60 € a majú zľavu 1/4 z ceny. Koľko zaplatíš?
Zľava: 60 : 4 = 15 €
Zaplatíš: 60 − 15 = 45 €

Prečo je to dôležité: zlomky používaš pri varení, meraní, peniazoch, zľavách, delení vecí medzi kamarátov aj v ďalšej matematike (pomery, percentá, rovnice). Kto rozumie zlomkom, ľahko prepočíta ceny, dávky aj časti celku v bežnom živote.

Precvič si

1. Skráť zlomok 18/24 na základný tvar.
2. Skráť zlomok 35/49 na základný tvar.
3. Rozšír zlomok 5/6 tak, aby mal menovateľ 42.
4. Porovnaj zlomky 3/4 a 7/10 a zapíš, ktorý je väčší.
5. Preveď zlomky 3/5 a 9/25 na desatinné čísla.
6. Bicykel stojí 240 € a v akcii je zľava 1/6 z ceny. Koľko zaplatíš?